Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных

Читайте также:
  1. D. Условия пребывания и размещение
  2. I. ОБЩИЕ УСЛОВИЯ
  3. II. 9. УСЛОВИЯ РОСТА ЗНАНИЯ
  4. II. Порядок и условия предоставления целевого жилищного займа для приобретения жилого помещения (жилых помещений) под залог приобретаемого жилого помещения (жилых помещений)
  5. II. Условия признания гражданина инвалидом
  6. II. Условия проведения Конкурса
  7. II. УСЛОВИЯ ПРОХОЖДЕНИЯ ДИСТАНЦИЙ

Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке М (x, y), она должна быть непрерывной и иметь непрерывные частные производные в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем полное приращение функции . В правой части прибавим и вычтем , получим .

По теореме Лагранжа о конечном приращении , где , , где .Тогда .Так как частные производные по условию теоремы непрерывны, то , .

Используя теорему о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции, запишем , , где - бесконечно малые функции при .Учитывая эти выражения, получим или .

В соответствии с определением дифференцируемости функции это означает, что функция является дифференцируемой. Следствие. Для того, чтобы установить дифференцируемость функции, нужно проверить непрерывность частных производных.

Верхние и нижние суммы Дарбу. Утверждение, доказанное выше, дает нам основание рассматривать всюду в дальнейшем только ограниченные на данном сегменте функции (ибо неограниченные функции заведомо не являются интегрируемыми по Риману).

Пусть f(х) - ограниченная на сегменте [ а, b ] функция и k} произвольное разбиение этого сегмента. Так как f(х) ограничена на сегменте [ а, b ], то она ограничена и на любом частичном сегменте [ хk-1, хk ], а поэтому у функции f(х) существуют точная нижняя грань mk и точная верхняя грань Mk на частичном сегменте [ хk-1, хk ].Итак, пусть , .Введем фундаментальные понятия верхней и нижней сумм. и будем называть соответственно верхней и нижней суммами функции f(х)

для данного разбиения {хk} сегмента [ а, b ]. Выясним геометрический смысл верхней и нижней сумм. Рассмотрим снова криволинейную трапецию, т. е. фигуру, ограниченную отрезком [ а, b ] оси Ох, графиком неотрицательной непрерывной функции y=f(х)≥0 и прямым и x=a, x=b, перпендикулярными к оси Ох (рис. 2). Пусть дано любое разбиение k} сегмента [ а, b ]. Число Mk в случае непрерывной функции y=f(х) является ее максимальным значением на частичном сегменте [ хk-1, хk ]. Поэтому верхняя сумма равна площади элементарной ступенчатой фигуры, содержащей криволинейную трапецию. Эта площадь заштрихована на рис. 2.

Аналогично нижняя сумма равна площади элементарной ступенчатой фигуры, которая содержится в криволинейной трапеции (рис. 3). Отметим, что число mk этом случае является минимальным значением функции y=f(х) на частичном сегменте [ хk-1, хk ].Анализируя геометрический смысл интегральной суммы, можно ожидать, что интеграл от интегрируемой по сегменту [ а, b ] функции y=f(х) должен равняться числу, которое следует принять за площадь соответствующей криволинейной трапеции. Но к этому же числу будут стремиться верхние и нижние суммы при стремлении диаметра разбиений к нулю. Поэтому представляется вероятным, что для интегрируемости функции необходимо и достаточно, чтобы разность между верхними и нижними суммами стремилась к нулю.

Билет №3


Дата добавления: 2015-12-07; просмотров: 44 | Нарушение авторских прав



mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)