Миноры и алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы. Разложение определителя по строке или столбцу.

Пусть – квадратная матрица n -го порядка.

Определение. Минором элемента квадратной матрицы называется определитель матрицы, которая получена из исходной вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца. Обозначается .

Пример. Найдем минор матрицы . Согласно определению нужно вычеркнуть из матрицы вторую строку и третий столбец, а затем вычислить определитель полученной матрицы: . Таким образом можно вычислить миноры всех элементов данной матрицы (всего девять миноров).

Определение. Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называется минор этого элемента, взятый со знаком ,

.

Пример. Для рассмотренного выше примера вычислим алгебраическое дополнение элемента : .

Теорема (о разложении определителя по строке) Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов некоторой ее строки на соответствующие им алгебраические дополнения,

.

Доказательство разобьем на три случая.

Первый случай. Пусть в квадратной матрице все элементы последней строки равны нулю за исключением последнего элемента. Покажем, что . Приведем матрицу A к ступенчатому виду, при этом определитель может измениться: в общем случаем – на числовой множитель

.

Полеченная матрица треугольная, поэтому . Теперь рассмотрим . Несложно заметить, что .

Второй случай. Пусть в квадратной матрице все элементы некоторой строки равны нулю за исключением одного элемента . Покажем, что . Сведем этот случай к предыдущему. Поменяем местами i -ую строку с i+ 1, затем с i+ 2 и т.д., пока i -ая строка не станет последней. В результате этих преобразований определитель сменит знак n-i раз. Затем проделаем аналогичные действия с j- м столбцом пока он не станет последним столбцом. В результате таких преобразований определитель еще сменит знак n-j раз, а значит, может отличаться от определителя исходной матрицы лишь знаком . При этом в последней строке полученной матрицы все элементы равны нулю кроме последнего, а значит, она имеет такой же вид, как в случае 1, и .

С другой стороны, первые n- 1 строк полученной матрицы – это строки исходной матрицы без i- ой строки, а первые n- 1 столбцов – это столбцы исходной матрицы без j- ого столбца, а значит, – это есть минор элемента .

Итак, .

Третий случай. Рассмотрим произвольную матрицу и выразим ее определитель через элементы i -ой строки.

■

Дата добавления: 2015-11-26