Теорема. (свойства определителей).

1) Определитель матрицы не изменяется при ее транспонировании.

2) Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

3) Если в матрице есть нулевая строка, то ее определитель равен нулю.

4) Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак на противоположный.

5) Если в матрице есть одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

6) Если строку матрицы умножить на ненулевое число, то определитель будет равен произведению определителя исходной матрицы на это число.

7) Если в матрице есть пропорциональные строки, то ее определитель равен нулю.

8) Если , а , то .

9) Если к некоторой строке матрицы прибавить другую строку, умноженную на некоторое число, то ее определитель не изменится.

Доказательство. 1) Покажем, что . Пусть , . Тогда по определению транспонированной матрицы . По определению определителя нужно вычислить сумму зарядов всех молний матрицы . Рассмотрим произвольную молнию матрицы и найдем ее заряд:

Молнии матрицы A соответствует подстановка , которая является обратной для подстановки . Запишем подстановку в канонической форме. По свойствам знака подстановки . Получим:

для всякой подстановки . Таким образом, .

Замечание. Доказанное свойство показывает, что все свойства определителя, связанные с преобразованием строк матрицы, имеют место и для соответствующих преобразований столбцов.

2) Пусть – верхняя треугольная матрица, т.е. , если . Покажем, что . Рассмотрим произвольную молнию матрицы A и найдем ее заряд.

Если среди элементов молнии найдутся такие , что , т.е. нулевые элементы, то . Таким образом, ненулевой заряд имеет молнии, все элементы которых удовлетворяют условию , т.е. такие элементы,что . Однако, – это различные номера столбцов матрицы A, поэтому, начиная с последнего условия, получаем , т.е. ненулевой заряд имеет лишь одна молния – , заряд которой равен . Следовательно по определению .

3) Пусть матрица такая, что . Покажем, что . Рассмотрим произвольную молнию матрицы A и найдем ее заряд: . Итак, заряды всех молний матрицы равны нулю, а значит и определитель, равный сумме зарядов всех ее молний, тоже равен нулю.

4) Пусть матрица B получена из матрицы A перестановкой двух ее строк местами, например i -ой и j -ой. Тогда . Покажем, что . Рассмотрим произвольную молнию матрицы B и найдем ее заряд:

Молнии матрицы A соответствует подстановка . Учитывая, что по свойствам знака подстановки, , получим:

Следовательно, .

Вывод: если при вычислении определителя матрицы поменять местами две ее строки, то у определителя нужно сменить знак.

5) Пусть матрица такая, что . Покажем, что . Действительно, если поменять равные строки матрицы местами, то определитель, с одной стороны, не изменится, а с другой стороны, сменит знак, т.е. , откуда и следует,что .

6) Пусть матрица B получена из матрицы A умножением одной из ее строк, например i -ой, на число . Тогда . Покажем, что . Рассмотрим произвольную молнию матрицы B и найдем ее заряд: