Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований.

Понятие определителя n-го порядка.

Здесь и далее A – матрица n -го порядка.

Определение. Молнией квадратной матрицы называется множество ее элементов, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца.

Например, для квадратной матрицы третьего порядка множество является молнией, а и молниями уже не являются.

Из определения молнии следует, что первые (вторые) индексы ее элементов – это различные номера строк (столбцов) от 1 до n, возможно, записанные не по порядку. Значит, каждой молнии квадратной матрицы A соответствует подстановка n- ой степени – подстановка, в первой строке которой записаны номера строк элементов молнии, а во второй – соответствующие номера столбцов. Например, молнии матрицы третьего порядка соответствует подстановка третьей степени . Обратно, каждой подстановке n -ой степени можно поставить в соответствие молнию матрицы A n -го порядка.

Таким образом, между множеством молний квадратной матрицы n -го порядка и множеством подстановок n -ой степени установлено взаимно однозначное соответствие, поэтому число молний квадратной матрицы n -го порядка равно .

Определение. Зарядом молнии называется произведение всех ее элементов, умноженное на знак соответствующей подстановки.

.

Например, заряд молнии матрицы третьего порядка равен , так как подстановка имеет две инверсии, а значит, ее знак равен 1.

Определение. Определителем матрицы n-го порядка называется сумма зарядов всех ее молний.

.

Пользуясь определением, получим формулы для вычисления определителей матриц второго и третьего порядков.

n =2. Пусть . По определению .

Найдем все молнии матрицы и вычислим их заряды. Для этого используем подстановки второй степени.

; так как , то ;

; так как , то .

Окончательно, получаем .

Итак, определитель второго порядка равен разности произведения элементов главной и произведения элементов побочной диагоналей.

Формулу для вычисления определителя третьего порядка получим на практике.

Для вычисления определителей б о льших порядков, использование определения уже усложняет задачу, поэтому появляется необходимость получении других способов. Одни из способов вычисления определителей основан на применении их свойств.

Дата добавления: 2015-11-26