Метод определителей

Употребим прием исключения неизвестных:

умножим (1) на b₂

(2) на (- b₁) и сложим

…………

(a₁b₂ – a₂b₁) x = b₂c₁ – b₁c₂ (*)

Аналогично, исключая из системы неизвестное х, найдем

(a₁b₂ – a₂b₁) у = a₁c₂ – a₂c₁ (**)

Введем обозначения:

Тогда (*) и (**) запишем так:

Δ назовем определителем системы

Δ_х получается из Δ заменой элементов 1-го столбца свободными членами системы; Δ_у – заменой элементов 2-го столбца свободными членами.

Проведем нал-ние решения системы такой

1 случай.

Если Δ ≠ 0, то - единственное решение, т.е. совместное и определенное. Это есть формулы Крамера.

2 случай.

а) Если Δ = 0, и хотя бы один из определителей Δ_х = Δ_у отличен от нуля, то система несовместная.

напр. Δ_x ≠ 0, тогда 1-е уравнение не имеет решений.

б) Если Δ = 0 и Δ_х = Δ_у = 0, то – система совместная, но неопределенная, т.е. имеет бесконечное множество решений.

В этом случае одно из уравнений есть следствие другого.

Система 3-х линейных уравнений с 3 неизвестными

(1)

здесь x, y, z – неизвестные, остальные буквы обозначают постоянные.

Тройка чисел x₀, y₀, z₀ называются решением системы (1), если эти числа удовлетворяют уравнениям системы (1).

Введем обозначения:

Это определитель системы

Тогда (без док-ва) Δ*x = Δ_x, Δ*y = Δ_y, Δ*z = Δ_z

решениенаходится по формулам Крамера

I) Δ ≠ 0

II) Δ = 0

II a) Δ_x ≠ 0 или Δ_y ≠ 0 или Δ_z ≠ 0

тогда 0*x ≠ 0 или 0*y ≠ 0 или 0*z ≠ 0 что означает, что нет решений

II б) Δ_x = 0, Δ_y = 0, Δ_z = 0

Возможны случаи:

1. Нет решений

2. 2. Если бесконечное множество решений (по крайней мере, одно из уравнений ………)

Примеры:

1)

нет решений

……….

с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы. Поэтому эти методы представляют скорее теоретический интерес и на практике не могут быть использованы для решения реальных экономических задач, сводящихся часто к системам с большим числом уравнений и переменных.

Формулы Крамера. Решения квадратной невырожденной линейной системы линейных уравнений

А = Х =

det A ≠ 0 – невырожденная

(1)

Эту формулу (1) распишем подробно

Системы линейных уравнений

Основные понятия

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

(2.1)

x₁, x₂,…., x_n – неизвестные (переменные) системы, числа а_ij, i =1,…, m; j =1,…, n – коэффициенты при неизвестных (переменных), b_1, b₂,…,b_m – свободные члены.

Если все свободные члены b_j равны нулю, то система (2.1) называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Возможны следующие случаи m > n, m = n, m < n.

Решением системы называется упорядоченный набор из n чисел (α_1, α_2,… α_n) такой, что каждое из уравнений системы (2.1) обращается в верное числовое равенство после подстановки вместо неизвестных x₁, x₂,….,x_n чисел α_1, α_2,… α_n соответственно.

Если система (2.1) имеет, по крайней мере, одно решение, то она называется совместной. Если система (2.1) не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если имеет множество решений.

2.2. Методы решения систем n линейных уравнений c n переменными

Рассмотрим частный случай системы (1), когда m = n, т. е. систему

(2.3),

в которой определитель основной матрицы-системы

= ≠0.

Дата добавления: 2015-11-26