Проверка статистических гипотез

После того как обработаны данные, относящиеся к точечному определению, можно переходить к обработке данных, характеризующих изучаемое явление в целом. Промежуточным этапом может оказаться сравнение двух рядом лежащих точек, если их сравнительные значения являются существенными для характера устанавливаемой закономерности, В основе сравнения лежит вероятностный характер данных, в определенной мере распространяющийся и на среднее арифметическое значение выборки.

Поясним это на примере. Экспериментальные данные(средние из шести) нанесены на график, показанный на рис.6. Перед тем как проводить плавную кривую, нам необходимо выяснить, является ли зависимость экстремальной, либо превышение значения показателя прочности в точке 2 над значением в точке 1 является случайным и ход кривой должен иметь монотонный характер. Общая оценка ситуации, когда в зависимости от количества образцов прочность снижается, предлагает нам принять гипотезу о монотонном характере кривой. Чтобы проверить гипотезу такого рода, сравним У₁ и у₂ (перейдем от конкретного показателя к записи в общем виде). Для сравнения предполагаем, что дисперсии ошибок в обеих сериях определений одинаковы, например, определения производились в одних и тех же условиях; на одном и том же приборе и т. д. Тогда подсчитаем отношение:

tP	=		y	2	- y1		(17),
s 1 n1 +1 n2

и s

где

=

f

s

и

f		+ s			f
f		+ f
	f		- число степеней свободы первой и второй выборки (f=n-1).

(18),

Рис.6.Изменение прочности модифицированных образцов в зависимости от продолжительности термообработки

Далее задаем желаемую вероятность вывода Р и по табл. 3 приложения находим значение критерия Стъюдента для f=n₁+n₂-2. Еслиt _Р превосходит найденное значение t, то расхождение средних значений у₁ и у₂ можно считать не случайным (значимым) с надежностью вывода Р. В этом случае зависимость оказывается экстремальной (сплошная линия). Если tP £ t - расхождение случайно, зависимость оказывайся монотонной, через точки проводим пунктирную линию.

В реальном эксперименте было установлено, что модификация образцов приводит к тому, что нагревание в течение 30 мин углубляет взаимодействие модифицирующей добавки с древесным комплексом, повышает прочность образцов, но при дальнейшем нагревании из-за процессов деструкции прочность падает. Поводом для углубленных исследований послужил статистически надежный вывод, полученный с использованием вышеприведенной формулы. В противном случае соединяющая точки линия проходила бы так, как это показано на рисунке пунктиром.

В общем случае статистическая гипотеза есть некоторое предположение относительно свойств совокупности, сделанное на основе выборки. Проверка гипотезы - это правило, по которому гипотеза принимается или отвергается. В рассмотренном случае использовали оценку значимости различия выборочных средних (или средних арифметических значении) по t-критерию. Рассмотрим еще один пример проверки статистической гипотезы.

В цехе декоративного бумажно-слоистого пластика фиксировали срок службы глянцевых прокладочных листов, получаемых с двух предприятий. Оказалось, что листы первого предприятия пригодны для 960 запрессовок, листы второго - для

1020. Было выдвинуто предположение о более высоком качестве листов второго предприятия, поскольку y₂ > y. Однако, данные были получены по ограниченному

количеству листов, и расхождение между ними могло оказаться незначимым. Было выдвинуто второе предположение о том, что у₁ и у₂ являются оценками одного и

того же математического ожидания μ. Второе предположение является нулевой гипотезой относительно двух выборочных средних. Принять эту гипотезу, значит

отклонить первое предположение.

Для проверки нулевой гипотезы относительно у₁ и у₂ необходимо, чтобы выборочные дисперсии были однородны. Проверка производится по критерию Фишера.

В числителе берется большее значение. По табл. 4 приложения при данном значении Р находим значение критерия Фишера.ЕслиFр≤F,то выборочные дисперсииоднородны и являются оценками одной и той же дисперсии σ². В противном случае сравнение невозможно.

Дальнейший расчет производим, как в приведенном ранее примере. Определяем s и t_Р. В случае, если t_р < t принимаем гипотезу о том, что у₁ и у₂ есть оценки одного и того же математического ожидания μ. В этом случае принимается нулевая гипотеза и, в частности, делается вывод об одинаковом качестве прокладных листов

Лекция № 9 (4часа)

Дата добавления: 2015-11-28