Оценка точности косвенных измерений

Как быть, если х определяется не прямым измерением, а косвенным, т. е. по результатам измерений других величин y и z? Пусть х является некоторой функцией у и z, т. е.

x=f(y, г).

Тогда наилучшее значение при оценке х равно

, (14)

где y и z находятся по формуле (5). Как же найти Δx, если известны Δy и Δz? Так как сами величины y и z находятся путем прямых измерений, то их погрешности Δy и Δx можно оценить по формулам (6) и (7).

Заметим, прежде всего, что Δx = х - ; следовательно, простой оценкой для Δx является разность

, (15)

т. е. ошибка косвенного измерения находится через ошибки прямых измерений по правилу дифференцирования. Часто этой оценки оказывается достаточно.

Более точным является следующее выражение:

, (16)

где ¶¦¤ ¶ y 趦¤ ¶ x – частные производные по y и z, взятые при значениях y= , z= .

Часто удобно выражать точность, с которой найдено x, через относительную погрешность δ _x. По определению,

(17)

где - рассчитывают по формуле (5). Относительная погрешность, очевидно, является безразмерной величиной.

Заметим, что исходя из определения относительной погрешности результат измерений величины x можно записать в виде , так как .

Рассмотрим практически важный случай, когда x является степенной функцией y и z:

,

m и n могут быть целыми и дробными, больше и меньше нуля).

Относительная погрешность равна

. (18)

Из соотношения (18) следует важный вывод: при измерениях необходимо точно определить значение величины, входящей в расчётную формулу с наибольшим по модулю показателем степени.

Простейшие случаи расчёта предельных погрешностей результата косвенного измерения величины Y представлены в таблице.

Таблица 2 Простейшие случаи расчёта предельных погрешностей результата косвенного измерения величины Y

Вид функции

Предельная относительная погрешность

=A+B+C
Y=A-B
Y=A×B×C
Y=A ^n
Y=
Y=sin a
Y=cos a
Y=tga
Y=ctga

Дата добавления: 2015-11-28