Использование уравнения риккати для синтеза оптимальных непрерывных су

СОДЕРЖАНИЕ

1. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ГАМИЛЬТОНА – ПОНТРЯГИНА.. 3

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ ДЛЯ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СУ 6

3. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ЦИФРОВЫХ СУ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ 9

4. РЕАЛИЗАЦИЯ ЦИФРОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВ.. 13

5. ПОСТРОЕНИЕ САМОНАСТАИВАЮЩИХСЯ СИСТЕМА МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА 20

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.. 25

1. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ГАМИЛЬТОНА – ПОНТРЯГИНА

Задание: определить оптимальное управление как функцию времени, используя принцип максимума.

Дано: уравнение движения объекта:

(1.1)

(1.1.2)

Управление не ограничено.

Оптимизирующий функционал имеет вид:

(1.1.3)

Начальные и конечные условия:

(1.1.4)

Изопараметрическое ограничение:

(1.1.5)

Решение:

Переведем уравнение (1.1) из матричной формы в систему уравнений:

(1.2)

Введем вспомогательные функции и составим Гамильтониан вида:

(1.3)

где: (1.4)

(1.5)

Учитывая (1.2), (1.3), получим Гамильтониан вида:

(1.6)

С учетом (1.5) определим вспомогательные функции 𝜓:

или после интегрирования (1.7)

Т.к. управление не ограничено, то необходимо найти экстремум функции Гамильтона – Понтрягина. Для этого определим частную производную от него по управлению, получим:

Или с учетом (1.7): (1.8) Перепишем систему (1.3), подставив в неё значение (1.8) и проинтегрируем:

(1.9)

Далее получим:

(1.10)

(1.11)

(1.12)

Подставив условия (1.1.4), получим:

(1.13)

Решаем данную систему:

(1.14)

Оптимальное управление (1.8), с учетом (1.14), будет равно:

(1.15)

(1.16)

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ ДЛЯ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СУ

Задание: определить оптимальное управление непрерывной системы, используя уравнение Риккати.

Дано: Уравнение движения объекта:

(2.1)

где:

Оптимизирующий функционал имеет вид:

(2.2)

Решение:

Из теории известно, что для оптимизирующего функционала вида:

(2.3)

можно найти оптимальное управление, которое представляет собой линейную функцию от фазовых координат:

(2.4)

где:

(2.5)

Р(t) – решение уравнения Риккати, которое в алгебраической форме имеет вид:

(2.6)

где и найдем из (2.1.1), а и найдем из (2.2):

(2.7.1)

(2.7.2)

Будем искать решение уравнения Риккати в виде: (2.8)

Подставим (2.1.1), (2.7.1), (2.7.2) в уравнение (2.6), получим:

(2.9)

Подставим (2.7.1), (2.7.2) в (2.6), получим:

Решая уравнение (2.10), получим систему:

Решая систему (2.11) с помощью ППП MathCAD, получаем четыре возможные матрицы-решения уравнения Риккати:

(2.12.1)

(2.12.2)

(2.12.3)

(2.12.4)

Проверим каждую из матриц (2.12.1-2.12.4) на не отрицательность. Найдем собственные значения λ каждой из матриц Р₁-P₄:

(2.13)

где Е – единичная матрица.

Произведем подобное вычисление с помощью встроенной функции ППП MathCAD:

(2.14¹)

(2.14²)

(2.14³)

(2.14⁴)

Из полученных пар λ₁ и λ₂ в (2.14¹)- (2.14⁴) видно, что лишь матрица Р₃ удовлетворяет условию не отрицательности. Следовательно, она и является искомой матрицей-решением уравнения Риккати (2.6). Тогда (2.5) примет вид:

(2.15)

Следовательно искомое оптимальное управление (2.4) будет равно:

(2.16)

Дата добавления: 2015-11-28