Уравнение бегущей волны. Волновое уравнение

Лекция 6. Механические волновые процессы

План лекции

6.1. Возникновение волны. Продольные и поперечные волны.

6.2. Уравнение бегущей волны. Волновое уравнение.

6.3. Фазовая и групповая скорости.

6.4. Волны в упругих средах.

6.5. Звук и его характеристики.

6.6. Элементы акустики и их значение в строительстве.

6.7. Использование энергии упругих волн в строительстве.

Возникновение волны. Продольные и поперечные волны

Если в среде колеблется частица, то она приводит в колебание соседние частицы. Процесс распространения колебаний называется волной. Направление распространения колебаний называется лучом. В зависимости от направления колебаний частиц относительно луча различают волны продольные и поперечные. Если колебания происходят вдоль луча, то волна продольная, а если колебания перпендикулярны лучу - волна поперечная. Продольные волны распространяются в средах, в которых возникают упругие силы при деформациях растяжения – сжатия (разрежения – уплотнения), то есть в твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны распространяются в средах, в которых возникают упругие силы при деформациях сдвига, т.е. в твердых телах. Таким образом в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах – как продольные, так и поперечные.

Поверхность, до которой дошли колебания частиц к моменту времени t, называется фронтом волны. Совокупность точек (частиц), колеблющихся в одинаковых фазах, образует волновую поверхность. Если фронт волны плоский, волна называется плоской. Если фронт волны представляет собой поверхность шара, волна называется сферической. Так волна, распространяющаяся от точечного источника в однородной среде, будет сферической.

При волновом процессе точка среды совершает колебания относительно положения равновесия и почти не имеет поступательного перемещения вдоль луча. От источника поступательно перемещаются фаза и энергия колебаний. Соответственно скорость перемещения фазы – фазовая скорость, перенос энергии – групповая скорость.

Уравнение бегущей волны. Волновое уравнение

Уравнение бегущей волны выражает зависимость смещения колеблющейся частицы от координаты и времени.

Рассмотрим вывод уравнения плоской синусоидальной волны. Пусть упругая волна распространяется вдоль оси x. Если ξ(x,t)= A sinω t будет уравнением колебания точки (частицы), то такие же колебания частицы, отстоящей от источника на расстоянии x, произойдут позже, то есть с опозданием на время x/υ. Точка (частица) на расстоянии x будет иметь такое смещение в момент времени t, как и начальная точка в момент (t -x/υ). Тогда уравнение колебаний частиц, колеблющихся в плоскости XOY, или уравнение плоской бегущей волны будет:

ξ(x,t) = A sinω(t - x/υ). (6.1)

Если фазовая скорость имеет обратное направление (-υ), то есть волна распространяется в обратном направлении, то

ξ(x,t) = A sinω(t + x/υ). (6.2)

Без учета поглощения энергии в общем случае уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси OX, будет:

ξ(x,t) = A sin[ω(t ± x/υ) + φ₀],

где A - амплитуда волны,

φ₀- начальная фаза колебаний, определяемая выбором начала отсчета x и t;

[ω(t ± x/υ) + φ₀] - фаза плоской волны.

Введем в уравнения (6.1) и (6.2) волновое число:

(6.3)

где λ - длина волны;

T - период колебаний;

ω - циклическая частота.

Обобщив (6.1), (6.2) и (6.3), перепишем уравнение плоской бегущей волны в виде:

ξ(x,t) = A sin(ω t ± kx + φ₀), (6.4)

Направление волны зависит от знака (+) или (-) перед kx...

Аналогично можно показать, что уравнение сферической синусоидальной волны (её волновые поверхности имеют вид концентрических сфер) записывается так:

ξ(r,t) = sin(ω t ± kr + φ₀), (6.5)

где - амплитуда волны,

a ₀ - физическая величина, численно равная амплитуде на единичном расстоянии от центра волны.

Из (6.5) видно, что амплитуда колебаний сферической синусоидальной волны не остается постоянной, а убывает с расстоянием r от источника по закону 1/ r.

Существуют и другие формы записи синусоидальной плоской и сферической волны¹.

¹Основываясь на формуле Эйлера, уравнения этих волн в экспоненциальной форме можно записать так:

- плоская волна;

- сферическая волна.

Уравнение волны (6.4) – одно из возможных решений общего дифференциального уравнения с частными производными, описывающее процесс распространения возмущения в среде. Такое уравнение называется волновым. Его можно получить продифференцировав (6.4) по два раза, сначала по t, а затем по x:

Сравнивая эти уравнения получим волновое уравнение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси OX:

Волновое уравнение в общем случае:

или

где

- оператор Лапласа.

Дата добавления: 2015-11-26