Дифференциал.

Таблица производных основных элементарных функций

1.	; , в частности ;
2.
3.	, в частности ;
4.	, в частности ;
5.	;	6.	;
7.	;	8.	;
9.	;	10.	;
11.	;	12.	;

Пример 1. Применим правило дифференцирования и вынесения за знак производной, а также соответствующие табличные производные. .

Пример 2. .

.

Пример 3. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную для функции .

Обратная функция имеет производную .

.

Производные высших порядков.

Производная называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то её производная называется производной второго порядка и обозначается

. Итак, .

Производная от производной второго порядка, если она , называется производной третьего порядка и обозначается ( …).

Итак, .

Производной –го порядка (или –ой производной) называется производная от производной порядка: .

Производные порядка выше 1–го называются производными высших порядков. С производной 4–го порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках ( или – производная 5–го порядка).

2 ая производная от пути по времени есть ускорение прямолинейного движения точки – это механический смысл производной 2 го порядка.

Дифференциал.

Пусть функция имеет отличную от нуля производную в точке ,

.

Тогда, учитывая свойства пределов, можно записать следующее равенство

, где при

и поэтому приращение функции можно представить в виде суммы двух слагаемых

.

1-ое слагаемое есть б.м.ф. одного порядка с , так как

, а 2-ое слагаемое является б.м.ф. более высокого порядка, чем :

.

Поэтому 1-ое слагаемое называют главной частью приращения функции .

Дифференциалом функции в точке называется главная часть её приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается :

.

Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка. Найдём дифференциал независимой переменной , т.е. дифференциал функции .

Так как , то имеем , т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: .

Можно записать:

,

значит дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

. Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов и .

Пример 1. Найдём дифференциал функции , где произвольная фиксированная точка.

Найдём производную функции .

По формуле дифференциала получим следующее равенство

.

Пример 2. Найдём дифференциал функции и вычислим значение дифференциала при заданных условиях: ; .

Найдём производную функции и её значение в точке :

; .

Подставляя, в формулу дифференциала найденную производную и дифференциал , получим .

Геометрический смысл дифференциала.

Проведём к графику функции в точке касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки .

, .

Из прямоугольного треугольника имеем:

, т.е. .

Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому .

, т.е. дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получит приращение .

Основные теоремы о дифференциалах получаются, используя связь дифференциала и производной функции и соответствующие теоремы о производных.

Рассмотрим способ раскрытия неопределённостей вида и , который основан на применении производных.

Теорема. (Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей вида ). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки и обращаются в нуль в этой точке: . Пусть в окрестности точки . Если предел , то .

Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых = пределу отношения их производных, если последний .

Замечания:

1. Теорема верна и в том случае, когда функции и не определены при , но и . Достаточно положить и .

2. Теорема справедлива и в том случае, когда . Действительно, положив , получим

.

3. Если производные и удовлетворяют тем же условиям, что и функции и , теорему можно применять ещё раз:

и т.д.

Пример. Найти .

Пример. Найти

.

Теорема. (Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей вида ). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки (кроме, может быть, точки ), в этой окрестности , . Если предел , то .

Пример. Найти

.

Правила Лопиталя применяются для раскрытия неопределённостей вида и , которые называют основными. Неопределённости вида , , , , сводятся к двум основным путём тождественных преобразований.

Дата добавления: 2015-11-26