Читайте также: |
|
2.1.1 Числовые последовательности, функции. Пределы.
1.Символика математической логики
Пусть и – некоторые утверждения, и – множества, – элемент множества.
Тогда следующие записи означают:
2. Если поставлено в соответствие величина , то говорят, что задана последовательность .
Пример: :
3. Число называется пределом последовательности , если такой, что , обозначается и говорят, что стремится (сходится) к .
4. Число называется пределом функции в точке (при ), если такое, что
5. Свойства пределов
1) Пусть и в некоторой окрестности т.
а) . Тогда .
б) . Тогда .
2)Предел постоянной равен самой постоянной.
3)Если существуют конечные пределы и , то:
а) ,
б)
б¢) если , то ,
в) , если .
З а м е ч а н и е. Очевидно, что приведенные свойства для функции, верны и для последовательностей, как верно и обратное.
6. Функция называется бесконечно малой (большой) при , если .
Пусть и - бесконечно малые при , и существует предел
Тогда, если
а) - конечное, то и - бесконечно малые одного порядка, если
, то и - эквивалентные .
З а м е ч а н и е. В процессе нахождения предела, любую величину можно заменить эквивалентной ей величиной.
б) При - бесконечно малая более высокого порядка, чем . Этот факт записывается в виде .
в) При - бесконечно малая более высокого порядка, чем .
Аналогичная классификация верна и для бесконечно больших величин.
7. Основные виды неопределенностей:
.
8.Первым замечательным пределом при неопределенности и называется предел, вида:
.
9. Вторым замечательным пределом с неопределенностью называется предел, вида:
.
10. Функция называется непрерывной в т. , если
а) определена в т. ,
б) существует предел ,
в) .
11. Если нарушено хотя бы из условий а), б), в), то называют точкой разрыва функции .
Точка называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные , причем .
Если у функции не существует правого или левого предела, или же эти пределы бесконечны, то говорят, что она имеет разрыв второго рода в этой точке.
Если функция имеет предел в точке , но он не совпадает со значением функции в этой точке или функция не определена в этой точке, то разрыв называется устранимый.
2.1.2 Дифференциальное исчисление функции одной переменной
12. Если существует , то его называют производной функции в т. , или говорят, что дифференцируема в т. , и обозначают: т.е. .
13. Если существует предел , то производная от пути по времени есть скорость движения т. в момент времени .
14. - дифференцируемая в т. функция, имеет в этой точке касательную с угловым коэффициентом .
15. Таблица производных
Пусть - функции от , а - константы. Тогда
16. Главная часть приращения функции , линейная относительно Δx, называется дифференциалом функции и обозначается .
17. Производной от функции -го порядка называется производная от производной -го порядка, т.е. .
18. Дифференциалом -го порядка функции называется дифференциал от дифференциала -го порядка, причем .
19. Формула Лейбница:
.
20. Пусть и две бесконечно малые или бесконечно большие при функции, дифференцируемые в и пусть и в . Тогда, если существует , то существует и они равны: = .
Аналогичные утверждения справедливы для , , , , .
21. Если функция имеет в окрестности точки a непрерывную производную , то для любой точки x из окрестности точки a найдется тоска такая, что можно записать в виде:
.
Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Если a=0, то формулу называют формулой Маклорена.
22. Уравнение касательной имеет вид .
23. Уравнение нормали имеет вид .
2.1.3 Возрастание и убывание функции. Экстремумы
Теорема 1. Пусть . Тогда если
а) возрастает (убывает) на (a;b), то на, (a;b)
б) на (a;b), то возрастает (убывает) на (a;b).
Геометрически это означает, что при возрастании функции угол между касательной к кривой и осью меньше , а при убывании больше (рис.1).
Рисунок 1
Теорема 2. (достаточные условия существования экстремума).
Пусть х1 – критическая точка , а - интервал, содержащий точку х1. Тогда, если
а) непрерывна в и дифференцируема в , кроме, может быть, т. х1, то она имеет в т. х1 max[min], если при переходе слева направо через х1, меняет знак с + на - [с – на +],
б) и в то в т. х1 имеет max[min], если .
З а м е ч а н и е 1. Пусть . Тогда наибольшее и наименьшее значения на [a,b] достигаются либо в критических точках, либо на концах отрезка (рис.2).
Рисунок 2
2.1.4 Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
Определение 1. Кривая называется выпуклой (вогнутой), если все точки этой кривой лежат ниже (выше) ее касательных (рис.3).
Рисунок 3
На рисунке 3 участок (а,с) – участок выпуклости кривой , – участок вогнутости. Т. , отделяющая выпуклость от вогнутости, и наоборот, называется точкой перегиба.
Теорема 3. Пусть на существует , причем . Тогда кривая на выпукла (вогнута).
Теорема 4. Пусть в окрестности т. , кроме, может быть, самой точки , существует . Тогда, если или не существует и при переходе через т. меняет знак, то - точка перегиба.
2.1.5 Асимптоты кривой. Общий план исследования.
Определение 3. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от текущей точки М кривой до прямой, при удалении т.М по кривой в бесконечность, стремится к нулю.
Рисунок 4 Рисунок 5 Рисунок 6
На рисунке 4 – вертикальная асимптота, на рисунках 5 и 6 – наклонные асимптоты.
Пусть кривая задана уравнением . Очевидно, что вертикальная асимптота имеет уравнение , где при или предел стремится к .
Пусть - наклонная асимптота. Тогда
,
Прямая может быть асимптотой при или при , или при . Поэтому пределы при и , в общем случае надо брать отдельно.
Общий план исследования:
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 74 | Нарушение авторских прав