Читайте также:
|
|
Т.А. Волкова, С.С. Соколов
Производная
(задания для выполнения расчетно-графических работ)
Федеральное агентство морского и речного транспорта
Федеральное бюджетнОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский государственный университет водных коммуникаций
Т.А. Волкова, С.С. Соколов
Производная
(задания для выполнения расчетно-графических работ)
Рекомендовано Редакционно-издательским советом
Санкт-Петербургского государственного университета водных коммуникаций
Санкт-Петербург
УДК 517.2
ББК 22.161
Рецензент:
Кандидат технических наук, доцент кафедры «Математика»
А.С. Кобелева
Т.А. Волкова, С.С. Соколов
ПРОИЗВОДНАЯ (ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ): учебно-методическое пособие – СПб.: СПГУВК, 2012 – 59с.
Учебно-методическое пособие содержит задания для выполнения расчетно-графических работ по курсу «Математика» и «Математический анализ» студентами, обучающимися на специальностях: 010501.65 «Прикладная математика и информатика», 090105.65 «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем», 230201.65 "Информационные системы и технологии", - а также по направлениям бакалавриата: 010400.62 «Прикладная математика и информатика», 090900.62 «Информационная безопасность», 230400.62 "Информационные системы и технологии".
УДК 517.2
ББК 22.161
@Санкт-Петербургский государственный
университет водных коммуникаций, 2012
СОДЕРЖАНИЕ
Задания. 2
Производная. 2
Основные свойства производной. 2
Таблица производных. 2
Производная параметрически заданной функции. 2
Производная показательно-степенной функции. 2
Вычисление приближенного значения функции с помощью дифференциала. 2
Геометрический и механический смыслы производной. 2
Геометрический смысл производной. 2
Механический смысл производной. 2
Исследование функций и построение графиков. 2
Четность и нечетность функции. 2
Условия монотонности функции. 2
Экстремумы функции. 2
Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. 2
Асимптоты.. 2
Список используемой литературы.. 2
Задания
Вариант 1
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Закон движения материальной точки имеет вид . В какой момент времени скорость ее движения будет равна 42 м/с?
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 2
1. Найти производную функции: .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Закон движения материальной точки имеет вид . В какой момент времени скорость ее движения будет равна 190 м/с?
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 3
1. Найти производную функции: .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Закон движения материальной точки имеет вид . Найти скорость ее движения в момент времени c.
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 4
1. Найти производную функции: .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Закон движения материальной точки имеет вид . Найти скорость ее движения в момент времени c.
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 5
1. Найти производную функции: .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. По оси движутся две материальные точки, законы движения которых имеют вид и . В какой момент времени их скорости будут равными?
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 6
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Закон движения материальной точки имеет вид . В какой момент времени скорость ее движения будет равна нулю?
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 7
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Тело движется по прямой по закону . Определить скорость и ускорение движения тела. В какие моменты времени оно меняет направление движения?
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 8
1. Найти производную функции
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Закон движения материальной точки имеет вид . Найти скорость ее движения в момент времени с.
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 9
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Определить угловой коэффициент касательной к кривой в точке .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 10
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. В какой точке кривой касательная к графику ее функции перпендикулярна прямой ?
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 11
1. Найти производную функции
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Записать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 12
1. Найти производную функции
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Записать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 13
1. Найти производную функции
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Записать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 14
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Записать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 15
1. Найти производную функции
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Записать уравнение нормали к кривой в точке с абсциссой .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 16
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Записать уравнение нормали к кривой в точке с абсциссой .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 17
1. Найти производную функции
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Записать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 18
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Записать уравнение нормали к кривой в точке с абсциссой .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 19
1. Найти производную функции
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Записать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 20
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Выяснить, в какой точке кривой касательная составляет с осью угол .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 21
1. Найти производную функции
.
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Выяснить, в какой точке кривой касательная составляет с осью угол .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 22
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Выяснить, в какой точке кривой касательная cоставляет с осью угол .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 23
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Выяснить, в какой точке кривой касательная составляет с осью угол .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 24
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Найти точки на кривой , в которых касательные параллельны оси .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 25
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Найти точку на кривой , касательная в которой параллельна прямой .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 26
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Найти точку на кривой , касательная в которой перпендикулярна прямой .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 27
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Найти точку на кривой , касательная в которой параллельна прямой .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 28
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Найти точку на кривой , касательная в которой перпендикулярна прямой .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 29
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Найти точку на кривой , касательная в которой параллельна прямой .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 30
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Найти точку на кривой , касательная в которой параллельна прямой .
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 31
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Закон движения материальной точки имеет вид . В какой момент времени скорость ее движения будет равна 2 м/с?
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 32
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Закон движения материальной точки имеет вид . Найти скорость ее движения в момент времени с.
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 33
1. Найти производную функции .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Закон движения материальной точки имеет вид . Найти скорость ее движения в момент времени с.
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 34
1. Найти производную функции: .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Закон движения материальной точки имеет вид . Найти скорость ее движения в момент времени с.
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Вариант 35
1. Найти производную функции: .
2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .
3. Найти производную функции .
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .
5. Закон движения материальной точки имеет вид . Найти скорость ее движения в момент времени с.
6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.
Производная
Определение: Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Предел отношения приращения функции в этой точке (если он существует) к приращению аргумента, когда , называется производной функции в точке :
.
Обозначение: , , .
Определение: Производная от функции называется производной первого порядка. Производная от функции называется производной второго порядка от функции и обозначается . Аналогично определяются производная третьего порядка, обозначаемая и т.д. Производная -го порядка обозначается .
Основные свойства производной
Пусть – константа, и имеют производные в некоторой точке . Тогда функции , , и , где , также имеют производные в этой точке, причем:
1. ;
2. ;
3. ;
4. .
Таблица производных
1. ;
2. , где ;
3. , где ;
4. ;
5. , где , ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ;
13. ;
14. .
Теорема 1. Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда сложная функция также имеет производную в точке , причем:
.
Задача 1. Найти производную функции .
Решение: Данная функция является композицией двух функций и . Так как , то с учетом теоремы о производной сложной функции получим:
.
Найдем производную функции , применяя свойство производной, получим:
.
Функция является композицией двух функций и . Так как и , то по теореме о производной сложной функции получим:
.
Функция является произведением двух функций. Применяя свойства и производной, получим:
.
Таким образом, производная функции имеет вид:
,
а производная исходной функции:
.
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 97 | Нарушение авторских прав