Независимость аксиомы параллельности

Теорема 4. Аксиома параллельности евклидовой геометрии независима, то есть не может быть выведена как следствие из других аксиом.

Доказательство. Построим реализацию, в которой выполняются все аксиомы кроме аксиомы параллельных (рис. 16).

Под точкой будем подразумевать произвольную точку евклидовой плоскости в середине единичной окружности , под прямой – произвольную хорду этого круга. Отношение принадлежности будем понимать так, как в евклидовой плоскости. Длина отрезка АВ с концами обозначают так. Пусть прямая АВ пересекает окружность в точках . Тогда длиной отрезка АВ называется число , если и аналогичное выражение с заменой переменной на , если .

В этой реализации выполняются все аксиомы евклидовой геометрии кроме аксиомы параллельности. Действительно, через данную точку окружности можно провести бесконечно много хорд, которые не пересекают данную хорду. Построение этой реализации доказывает независимость аксиомы параллельности от других аксиом.

3.4.Непротиворечивость системы аксиом Г. Вейля евклидовой геометрии для пространства

Основным понятиям системы аксиом Вейля придадим конкретный смыл с помощью действительных чисел, поэтому такая реализация называется арифметической.

1. Вектором будем называть матрицу-столбец вида , где - действительные числа. При этом два вектора совпадают тогда и только тогда, когда соответствующие элементы этих матриц равны. Совпадение векторов обозначают знаком равно.

2. Точкой называют матрицу-строку вида , где - произвольные действительные числа. При этом две точки совпадают тогда и только тогда, когда .

3. Суммой векторов называется вектор .

4. Произведением вектора на число k называется вектор .

5. Скалярным произведением векторов , установленным ненулевым вектором , называется число .

6. Принадлежность упорядоченной пары точек вектору выполняется при условии .

Можно убедится, что при таком определении основных объектов и основных отношениях все аксиомы Вейля трехмерного евклидового пространства выполняются. Проверка аксиом первой, второй, третьей и четвертой групп аксиом тривиальна, если взять за нулевой вектор матрицу-столбец , а за три линейно независимых вектора матрицы-столбцы . Проверим аксиомы 5.1 и 5.2.

Аксиома 5.1. Пусть - произвольная точка и произвольный вектор.

Надо доказать, что существует одна и только одна точка такая, что вектор . По определению принадлежности при этом должно выполнятся условие: . Из этого условия вытекает, что существует одна и только одна тройка чисел , которая удовлетворяет этим числовым равенствам.

Аксиома 5.2. Пусть имеем три произвольных точки .

Находим вектора .

.

Тогда Аксиома 5.2. доказана.

Итак, система аксиом Вейля, а поэтому и геометрия Евклида непротиворечива на столько, на сколько непротиворечива арифметика действительных чисел.

Дата добавления: 2015-11-26