Полнота системы аксиом евклидовой геометрии

Вопрос о полноте системы аксиом тесно связан с вопросом об изоморфизм всех ее реализаций.

Определение 6. Две реализации некоторой теории Т называются изоморфными, если между их элементами этих реализаций (что соответствуют основным понятиям теории Т) можно установить взаимно однозначное соответствие, которое сохраняет отношения, установленные аксиомами.

Теорема 1. Если все реализации систем теории Т изоморфны, то эта теория полная.

Доказательство. Допустим обратное: пусть все реализации системы аксиом теории Т изоморфны, но система аксиом Т неполная. Это означает, что существует некоторое утверждение а, которое не может быть выведено из аксиом Т и не находится с ними в противоречии. Тогда можно образовать две несуществующие системы аксиом , присоединяя к аксиомам Т аксиому а или .

Пусть - реализация систем аксиом . Каждая из них является при этом реализацией Т. Поскольку в имеет место а, а в - , то эти реализации не изоморфны. Пришли к противоречию.

Теорема 2. Система аксиом евклидовой геометрии является полной, то есть нельзя к ней присоединить ни одной аксиомы, которые не вытекали бы из ранее принятых и не противоречили бы им.

Доказательство. Согласно теореме 1. для доказательства данной теоремы достаточно установить изоморфизм всех реализаций системы аксиом евклидовой геометрии. Поскольку две реализации, изоморфные третьей, изоморфны, то достаточно доказать изоморфизм всех реализаций декартовой реализации. Установим такой изоморфизм.

Пусть - какая-нибудь реализация системы аксиом евклидовой геометрии на плоскости. Построим аналитическую геометрию, которая соответствует этой реализации. Введем на плоскости декартову систему координат точно так, как это делается в аналитической геометрии. Тогда каждая прямая на плоскости будет задаваться уравнением . Для расстояния между точками приводится формула .

Поставим теперь в соответствие точке декартовой реализации точку реализации с координатами ; прямой декартовой реализации – прямую в реализации , которая задается тем же самым уравнением. Это взаимно однозначное соответствие между прямыми и точками декартовой реализации и точками и прямыми реализации является изоморфизмом.

Действительно, если в декартовой реализации точка А лежит на прямой а и - соответствующая точка в реализации , а - соответствующая прямая, то точка лежит на прямой .

Соответственные отрезки декартовой реализации и реализации имеют одинаковую длину, поскольку выражаются одинаковыми формулами.

Итак, установленное нами взаимно однозначное соответствие между точками и прямыми декартовой реализации и произвольной реализации - изоморфизм. Отсюда вытекает, что все реализации системы аксиом евклидовой геометрии изоморфны, таким образом, по теореме 1. система аксиом евклидовой геометрии полная.

Дата добавления: 2015-11-26