Лемма 4.2. При выполнении условий 1 и 2 теоремы 4.2 функционал достигает минимального значения на множестве D при , т.е.

. (4.16)

Действительно, функционал (4.12) состоит из трех слагаемых, последнее из которых – постоянная величина.

Рассмотрим первое слагаемое .

Так как предполагается выполненным условие 1 теоремы 4.2, то при подынтегральное выражение достигает для всех максимального значения, а – – минимального. Следовательно, в формуле (4.12) будет минимальным.

Что касается второго слагаемого в функционале (4.12), то согласно условию 2 теоремы 4.2 оно также примет минимальное значение при .

Таким образом, каждое из слагаемых в (4.12) достигает на процессе минимального значения по сравнению с любым другим процессом на множестве D. Следовательно, этим свойством обладает и сумма этих слагаемых, что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь функционал заданный соотношением

.

Тогда свойство (4.16), доказанное в лемме 4.2, можно записать в виде

, (4.17)

. (4.18)

Теперь утверждение теоремы 4.2 доказывается просто.

Во-первых, так как множество M является подмножеством множества D, то на нем также выполняется ограничение (4.17), т.е.

.

Но в силу леммы 4.1 последнее неравенство можно переписать так:

. (4.19)

Поскольку по условию теоремы 4.2 , то выражение (4.18), в свою очередь, также равносильно равенству

. (4.20)

Сопоставляя соотношения (4.19) и (4.20), получим, что при всех

,

откуда и вытекает оптимальность процесса .

Теорема 4.2 доказана.

Прокомментируем содержательный смысл теоремы 4.2 о достаточных условиях оптимальности.

Если среди всех допустимых, согласно условиям теоремы (4.2), процессов установлен процесс , то он будет оптимальным. Но как именно его определить, это процедура рассмотрения и анализа различных типов нижеследующих задач. Другими словами, доказанная теорема – признак оптимальности допустимого процесса, если он каким-либо способом найден.

Сделаем замечание, относящиеся к формулировке теоремы 4.2 для задач ТОУ, в которых конечное состояние задано. В этом случае множество состоит из одной точки. Таким образом, область определения функции – единственное значение , которое и есть ее точка минимума. В связи с этим условие 2 теоремы 4.2 в задачах с фиксированным конечным состоянием выполняется тривиально, следовательно, для задач данного класса в формулировке этой теоремы актуально лишь условие 1.

Дата добавления: 2015-11-26