Явный и неявный метод Эйлера

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных

Дифференциальных уравнений

Постановка задачи Коши. Теорема Пикара Классификация численных методов решения задачи Коши. Одношаговые методы: явный и неявный метод Эйлера. Методы Рунге-Кутта. Многошаговые методы: методы Адамса-Башфорта и Адамса-Моултона. Схемы типа «предиктор-корректор».

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение вида .

Д.У. разрешимое относительно старшей производной имеет вид: (1)

Решением этого уравнения на называется такая функция , что выполняются условия:

1. ;

2. ;

3. .

Задача Коши для уравнения (1) называется задача нахождения такого решения, которое удовлетворяет начальным условиям:

…

Сведем систему уравнений (1) к уравнению первого порядка заменой:

, где .

Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение первого порядка с заданным начальным условием:

, (2)

(3)

Задача Коши описывается уравнениями (2)-(3). Существование и единственность решения задачи (2), (3) обосновывается теоремой Пикара: Если функция определена и непрерывна в области и удовлетворяет в G условию Липшица по переменной y, т.е.

где L - константа Липшица, то на некотором отрезке , 0< h< a существует и единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее начальному условию (3). Константа L зависит от области (от а и b).Если имеет ограниченную в G производную по у, то можно принять

Произведем классификацию методов решения задач Коши:

Явный и неявный метод Эйлера

Рассмотрим геометрический способ получения расчетной формулы м. Эйлера для решения задачи Коши (2, 3). При этом будем считать, что решение задачи Коши находится на интервале (a, b). Построим сетку следующим образом: . Из задачи видно, что в т. известно значение функции: , а значит и значение производной . Следовательно, можно записать уравнение касательной к графику искомой функции в т. : . (4)

При достаточно малом шаге , решение в т. может быть вычислено как: . По условию непрерывности функции, значение мало отличается от решения задачи и, следовательно, т. - пересечения касательной с прямой , может быть принята за новую начальную точку. Далее процесс повторяется: строится уравнение касательной . Продолжая процесс, получим формулу метода Эйлера: (5) График решения представляет собой ломаную линию, называемую ломаной Эйлера. Метод обладает малой точностью, и при переходе от одной точки к другой погрешность накапливается. Порядок локальной (т.е. на одном шаге) ошибки метода Эйлера равен . Глобальная ошибка имеет порядок на единицу ниже, т.е. .

Следовательно, метод Эйлера – метод первого порядка.

Рассмотрим также квадратурный способ. Проинтегрировав обе части уравнения (2) от до . При , получим (6)

Применим квадратурную формулу правых прямоугольников:

получим неявную формулу Эйлера:

(7)

Для определения необходимо решить нелинейное уравнение:
, общий вид которого .

Используя формулу трапеций в интеграле (5), тоже получим неявную формулу:

(8)

Формула (8) по сравнению с формулой (7), более высокого порядка – второго.

Существование и единственность ломаных Эйлера доказывается следующей теоремой:

Теорема:

Пусть на множестве функция - непрерывна и ограничена, т.е. и удовлетворяет условию Липшица по y. Если , то справедливы следующие утверждения:

1. при ломаные Эйлера сходятся равномерно к некоторой непрерывной функции u(x).

2. Функция u(x) непрерывно дифференцируема и является решением задачи Коши (2, 3).

3. при задача не имеет других решений.

Методы Рунге-Кутта

Идея построения явных методов Рунге-Кутта р-го порядка заключается в приближении к решению задачи Коши по формуле вида: (9)

где - некоторая функция, приближающая отрезок ряда Тейлора до порядка р.

(10)

Если , то получим метод Эйлера порядка р=1.

Для более (чем р=1) высокого порядка функцию берут многопараметрической, подбирая параметры так, чтобы происходило совпадение с рядом Тейлора до требуемого слагаемого. Явные методы Рунге-Кутта более высокого порядка конструируются следующим образом:

р – стадийный метод Рунге-Кутта задается таблицей, из построения следует ряд свойств, которым удовлетворяют коэффициенты:

1. Вычисляются коэффициенты по формулам:

…

2. Вычисляем коэффициент

3.Осуществляем переход

При Р=4 самая распространенная схема - это классическая:

Схема имеет четвертый порядок точности.

Рассмотрим многошаговые методы решения задачи Коши для ОДУ.

Методы Адамса

Пусть дана задача Коши (2, 3). Решение удовлетворяет уравнению (11)

Экстраполяционный метод Адамса-Башфорта

Пусть на отрезке задана система узлов (не равноотстоящих) . Интегрируя (2, 3) на отрезке будем иметь (12)

Заменим подынтегральную функцию в (12) интерполяционным многочленом, построенным по узлам . Удобно использовать интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования.

При i=0 имеем – формула Эйлера 1-го порядка.

При i=1 (13)

В случае равноотстоящей системы узлов при , имеем:

Для i=2 в случае равноотстоящей системы узлов (14)

При i=3 для случая равномерной сетки (15)

Формулы (13) имеют 2-ой порядок точности, (14) – 3-й порядок, (15) – 4-й порядок. Метод Адамса–Башфорта – это явный линейный многошаговый экстрополяционный метод.

Интерполяционный метод Адамса–Моултона

Отличие от метода Адамса–Башфорта состоит в замене подынтегральной функции в равенстве (11) интерполяционным многочленом Ньютона, но начиная с узла (а не с ).

При i=0 имеем – неявный метод Эйлера (1-го порядка).

При i=1 .

При равностоящих узлах получим - метод трапеций (2-го порядка).

При i=2 – метод третьего порядка точности.

При i=3 – метод четвертого порядка точности.

Методы прогноза и коррекции (предиктор – корректор)

Методы прогноза и коррекции основаны на поочередном применении явных и неявных методов либо одинакового, либо разных порядков.

1-го порядка

Применением первой (явной) формулы осуществляют расчет – прогнозируемого значения. Это значение подставляется во вторую (неявную) формулу и вычисляется скорректированное значение . Методы прогноза и коррекции позволяют контролировать шаговую погрешность сравнением значений и , полученных по явной и не явной формулам. Выбирают точность на шаге и применяют циклический алгоритм: Еслито (переход к след. шагу) иначе (уменьшение шага интегрирования) ().

Дата добавления: 2015-12-08