Объединением (или суммой) двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

Читайте также:

Из определения равенства двух множеств следует, что для любых множеств А и В существует множество, являющееся их объединением, причем оно единственное.

Объединение множеств А и В обозначается AÈB или A+B. Таким образом, согласно определению,

AÈB = {x / xÎA или xÎB}. (5)

Пересечением (или произведением) двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Такое множество всегда существует и оно единственно.

Пересечение множеств А и В обозначается AÇB или A×B. По определению,

AÇB = {x / xÎA и xÎB}. (6)

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В.

Для любых множеств А и В всегда существует такое множество, причем единственное. Оно обозначается А\В или А-В. Итак,

A\B = {x / xÎA и xÏB}. (7)

Если все рассматриваемые в ходе какого-либо рассуждения множества являются подмножеством некоторого множества U, то это множество называется универсальным множеством (для этого рассуждения).

Например, для элементарной арифметики универсальным множеством служит множество целых чисел Z, а для геометрии плоскости универсальным множеством служит множество точек плоскости.

Множество U\А обозначается и называется абсолютным дополнением А, т. е.

(8)

Относительное дополнение множества А до множества В – это множество .

Для наглядной иллюстрации отношений, которые могут иметь место между подмножествами какого-либо универсального множества U, часто используют так называемые диаграммы Эйлера-Венна. Диаграмма Эйлера-Венна представляет собой схематическое изображение данных множеств в виде точечных множеств: универсальное множество U изображается множеством точек некоторого прямоугольника, а его подмножество А – в виде круга или какой-нибудь другой простой области внутри этого прямоугольника.

Рассмотрим диаграммы Эйлера-Венна для вышеуказанных отношений и операций.

Следующая теорема выражает ряд свойств операций и над множествами.

Теорема 1. Для любых подмножеств А, В, С универсального множества U справедливы равенства:


ассоциативность

коммутативность

дистрибутивность





идемпотентность

Доказательство. Приведем доказательство лишь двух равенств - 3 и 10¢. Все остальные доказываются аналогично.

Пусть xÎAÈ(BÇC). Отсюда следует, что xÎA или xÎBÇC. Из того что xÎA, следует, что xÎAÈC и xÎAÈB, следовательно, xÎ(AÈB)Ç(AÈC). Из того что xÎBÇC, следует, что xÎB и xÎC. Следовательно, xÎAÈB и xÎAÈC, а поэтому xÎ(AÈB)Ç(AÈC). Итак,

AÈ(BÇC) Í (AÈB)Ç(AÈC). (9)

Пусть теперь xÎ(AÈB)Ç(AÈC). Это значит, что xÎAÈB и xÎAÈC, что дает следующие возможности:

a) xÎA,

b) xÏA, xÎC и xÎB,

Очевидно, что во всех этих случаях xÎAÈ(BÇC), т. е.

(AÈB) Ç(AÈC) Í AÈ(BÇC). (10)

Из (9) и (10) следует, что AÈ(BÇC) =(AÈB) Ç(AÈC). Равенство 3 доказано.

Докажем 10¢. Пусть . Тогда xÏAÇB; следовательно, xÏA или xÏB. Если xÏA, то . Если же xÏB, то . В обоих случаях и тем самым доказано, что