Методика введения понятия производной.

Роль темы: имеет мировоззренческое значение, задача о формировании умений, навыков и выработке навыков не ставится.

· сформировать понятие производной, как нового метода в изучении математических дисциплин (опирается на задачи практического характера);

· научить вычислять производные функций в точке (только степенной функции);

· научить применению некоторых правил операций с производной (суммы, произведения, частного);

· простейшее применение производной к решению задач практического характера (нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке);

· показать применение производной при построении касательной к графику функции.

Введение понятия производной:

I. мотивация изучения; вступительная беседа с выделением следующих акцентов:

ü часто нас интересует не величина, а её изменение ( = k∆l);

ü полезно включить задачи, которые стоят у истоков этого понятия:

1) задача о построении касательной к графику функции в данной точке (Ньютон);

2) задача о мгновенной скорости (Лейбниц) является более простой.

II. целесообразно:

§ формировать интуитивно-наглядные представления об аргументе и приращении функции (таблицы, графики, картинки);

§ научить находить приращение конкретной функции в точке х0.

III. уточнение понятия производной путём перевода на более строгий математический язык.

IV. Формирование алгоритма нахождения производной

(Если существует число L, к которому стремится в точке х0, то L - производная).

Алгоритм нахождения производной f(x) в точке х0:

1. есть х, дать приращение ∆х (∆х>0, ∆х<0, ∆x≠0);

2. находим приращение функции ∆f = f (x0+∆x)-f(x0);

3. составляем отношение ;

4. если ∆х→0, то находим, к чему стремится ;

5. + f’(х0) – производная.

V. Закрепление понятия производной: выполнение нескольких упражнений на нахождение производной функции в точке по алгоритму.

VI. Правила вычисления производных

Если функция имеет производную в точке, то она называется дифференцируемой. Если функции u и v дифференцируемы в точке х0, то их сумма также является дифференцируемой в этой точке, причём, производная этой функции = сумме их производных.

Пусть дана функция

Ø f(x) = u(x) + v(x) => f’(x) = u’(x) + v’(x);

Ø f(x) = u(x)·v(x) => f’(x) = ;

Ø f(x) = => f’(x) = .

В заключение выводят уравнение касательной графика функции в данной точке.

y=kx+b; k=tgα; ; ∆х→0; → ; y= f’(x0)k+b; b=f(x0)-f’(x0)·x0.

Дата добавления: 2015-12-08