Задания для самостоятельного решения

Экономико-математические оптимизационные модели

1.1.–1.25. Составить экономико-математическую модель задачи.

1.1. Фирма рекламирует свою продукцию с помощью телевидения, радио, газет и афиш. Из опыта известно, что эти средства приводят к увеличению прибыли соответственно на 10, 3, 7 и 4 у. е. в расчете на одну у. е., затраченную на рекламу. Распределение рекламного бюджета подчинено следующим ограничениям: полный бюджет не должен превосходить 500 000 у. е.; следует расходовать не более 40 % бюджета на телевидение и не более 20 % бюджета на афиши; на радио следует расходовать по крайней мере половину того, что планируется на телевидение. Как распределить средства на рекламу продукции?

1.2. Управляющему банка были предоставлены 4 проекта, претендующие на получение кредита в банке. Доступная наличность банка, потребности проектов и прибыль по ним приведены в таблице:

Проект	Период 1	Период 2	Период 3	Период 4	Прибыль
А
В
С
D					17,5
Ресурс банка

При оценке этих предложений следует принять во внимание потребность проектов в наличности и массу доступной наличности для соответствующих периодов. Какие проекты следует финансировать и какое количество наличности необходимо в течение каждого периода, если цель состоит в том, чтобы максимизировать прибыль?

1.3. В планируемом периоде предприятию необходимо обеспечить производство 300 тыс. однородных изделий, которые могут выпускать четыре филиала. Выделены капитальные вложения в размере 18 млн. руб. Разработанные для каждого филиала проекты освоения нового вида изделия характеризуются величинами удельных капитальных вложений и себестоимостью единицы продукции:

Показатели	Филиалы предприятия
Себестоимость производства изделия, руб. Удельные капиталовложения, руб.

Необходимо найти такой вариант распределения объемов производства продукции и капитальных вложений по филиалам, при котором суммарная стоимость изделий будет минимальной.

1.4. Имеются два склада готовой продукции: А₁ и А₂ с запасами однородного груза 200 и 300 т. Этот груз необходимо доставить трем потребителям: В₁, В₂ и В₃ в количестве 100, 150, 250 т соответственно. Стоимость перевозки 1 т груза из склада А₁ потребителям В₁, В₂ и В₃ равна 5, 3, 6 д.е., а из склада А₂ тем же потребителям – 3, 4, 2 д.е. соответственно. Составьте план перевозок, минимизирующий суммарные транспортные расходы.

1.5. На двух автоматических линиях выпускают аппараты трех типов. Условия приведены в таблице.

Тип аппарата	Производительность работы линий, шт. в сутки	Затраты на работу линий, ден. ед. в сутки	План, шт.
А
В
С

Составить такой план загрузки станков, чтобы затраты были минимальными, а задание выполнено не более чем за 10 суток.

1.6. На заготовительный участок поступили стальные прутья длиной 111 см. Необходимо разрезать их на заготовки по 19, 23 и 30 см. Заготовок требуется соответственно 311, 215 и 190 штук. Сформулировать экстремальную задачу выбора варианта выполнения этой работы, при котором число разрезаемых прутьев минимально.

1.7. В сплав может входить не менее 4 % никеля и не более 80 % железа. Для составления сплава используются три вида сырья, содержащего никель, железо и прочие вещества.

Компоненты сплава	Содержание компонентов (%) для сырья вида
I	II	III
Железо Никель Прочие
Стоимость 1 кг, у. е.

Сформулировать экстремальную задачу для определения состава шихты таким образом, чтобы стоимость 1 кг сплава была минимальной.

1.8. Фирма производит два безалкогольных напитка – лимонад и тоник. Объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью оборудования.

Для производства 1 л лимонада требуется 0,02 час. работы оборудования, а для производства 1 л тоника – 0,04 час. Расход специального ингредиента составляет 0,01 и 0,04 кг на 1 л лимонада и тоника соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы имеется 24 часа времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Доход фирмы составляет 0,1 руб. за 1 л лимонада и 0,3 руб. за 1 л тоника.

Сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневного дохода?

1.9. В металлургический цех в качестве сырья поступает латунь (сплав меди с цинком) четырех типов с содержанием цинка 10, 20, 25 и 40% по цене 10, 30, 40, 60 руб. за 1 кг соответственно. Составить модель для определения пропорций, в которых следует переплавлять это сырье в цехе, чтобы получить сплав (латунь) с 30 %-м содержанием цинка и при этом самый дешевый.

1.10. Излистов проката, имеющих форму прямоугольника 5×10, необходимо выкроить заготовки двух типов: А – 650 штук размером 3×4, В – 325 штук – 2×2,5, израсходовав при этом возможно меньше материала. Каким образом следует производить раскрой?

1.11. Три типа самолетов следует распределить между двумя авиалиниями. В таблице заданы количество самолетов каждого типа, месячный объем перевозок и соответствующие эксплуатационные расходы.

Тип самолета	Число самолетов	Месячный объем перевозок одним самолетом по авиалиниям	Эксплуатационные расходы на один самолет по авиалиниям
I	II	I	II

Следует распределить самолеты по авиалиниям так, чтобы при минимальных суммарных эксплуатационных расходах перевести по каждой из них соответственно не менее 300 и 200 ед. груза.

1.12. Предприятию задан план производства по времени и номенклатуре: требуется не более чем за шесть единиц времени выпустить 30 единиц продукции П₁ и 96 единиц продукции П₂. Каждый из видов продукции может производится машинами А и Б, значения мощностей которых и затраты для изготовления каждого вида продукции заданы в таблице:

Машина	Мощность машины по видам продукции	Затраты на производство продукции
П1	П2	П1	П2
А Б

Требуется составить оптимальный план работы машин, а именно: найти, сколько времени каждая из машин А и Б должна быть занята изготовлением каждого из вида продукции П₁ и П₂, чтобы стоимость всей продукции предприятия оказалась минимальной и в то же время был бы выполнен заданный план как по времени, так и по номенклатуре.

1.13. На приобретение оборудования (печей) для выпечки хлеба предприятие может выделить 30 тыс. у. е. Оборудование нужно разместить на площади, не превышающей 36 кв. м. Можно заказать оборудование двух видов. Менее мощная печь типа А стоит 4 тыс. у. е., требует производственную площадь 4 кв. м и имеет производительность 200 кг за смену. Печь типа В стоит 5 тыс. у. е., требует площадь 9 кв. м, ее производительность 300 кг за смену.

Требуется составить план приобретения оборудования, обеспечивающий максимальную общую производительность за смену.

1.14. Требуется раскроить 5000 прямоугольных листов фанеры размером 4 на 5 м каждый, с тем чтобы получить 2 вида прямоугольных деталей: деталь А должна иметь размер 2×2 м, деталь Б – размер 1×3 м. Необходимо чтобы деталей А оказалась не меньше, чем деталей Б.

Каким образом следует производить раскрой, чтобы получить минимальное (по площади) количество отходов?

1.15. Фирма производит три модели электронных реле. Каждая модель требует две стадии сборки. Время (в мин.), необходимое для сборки на каждой стадии, и прибыль за шт. приведены в таблице:

Продукт	Стадия 1	Стадия 2	Прибыль	Заказ
Модель А	2.5	2,0	82,5
Модель В	1,8	1,6	70,0
Модель С	2,0	2,2	78,0
Ресурс

Оборудование на каждой стадии работает 7,5 час в день. Менеджер хочет максимизировать прибыль за следующие 5 рабочих дней. Фирма может продать все, что произведет, и, кроме того, имеет оплаченный заказ на следующую неделю – 60 шт. изделий (по 20 шт. устройства каждого типа). Каков должен быть оптимальный производственный план?

1.16. На заводе выпускают изделия четырех типов. От реализации 1 ед. каждого изделия завод получает прибыль соответственно 2, 1, 3, 5 д.е. На изготовление изделий расходуются ресурсы трех типов: энергия, материалы, труд. Данные о технологическом процессе приведены в следующей таблице:

Ресурсы	Затраты ресурсов на единицу изделия	Запасы ресурсов, ед.
	I	II	III	IV
Энергия
Материалы
Труд

Спланируйте производство изделий так, чтобы прибыль от их реализации была наибольшей.

1.17. Имеются две почвенно-климатические зоны, площади которых соответственно равны 0,8 и 0,6 млн. га. Данные об урожайности зерновых культур приведены в следующей таблице:

Зерновые культуры	Урожайность (ц/га)	Стоимость 1 ц, д.е.
1-я зона	2-я зона
Озимые
Яровые

Определите размеры посевных площадей озимых и яровых культур, необходимые для достижения максимального выхода продукции в стоимостном выражении.

1.18. Нефтеперерабатывающий завод производит за месяц 1 500 000 л алкилата, 1 200 000 л крекинг-бензина, 1 300 000 л изопентона. В результате смешивания этих компонентов в пропорциях 1:1:2 и 3:1:2 получается бензин сорта А и Б соответственно. Стоимость 1000 л бензина типа А и Б соответственно равна 90 руб. и 120 руб.

Составить модель для определения месячного плана производства бензина сорта А и Б, максимизирующего стоимость выпущенной продукции.

1.19. На предприятии для производства запасных частей для автомобилей используется три вида ресурсов. Выпускаются три вида запасных частей. Организация производства на предприятии характеризуется следующей таблицей:

Ресурсы	Расход материалов на производство одной запасной части, кг	Запас ресурсов, кг
I II III Прибыль от реализации одной запасной части (д.е.)	-	-

Составьте план производства запасных частей, обеспечивающий предприятию максимальную прибыль.

1.20. Цех выпускает три вида деталей – А, В, С. Каждая деталь обрабатывается тремя станками. Организация производства в цехе характеризуется следующей таблицей:

Станок	Длительность обработки детали, мин.	Фонд времени, час
А	В	С
I II III Отпускная цена за одну деталь

Составьте план загрузки станков, обеспечивающий цеху получение максимальной прибыли.

1.21. Из трех продуктов – I, II, III составляется смесь. В состав смеси должно входить не менее 6 ед. химического вещества А, 8 ед. – вещества В и не менее 12 ед. вещества С. Структура химических веществ приведена в следующей таблице:

Продукт	Содержание химического вещества в 1 ед. продукции	Стоимость 1 ед. продукции
А	В	С
I
II
III		1,5		2,5

Составьте наиболее дешевую смесь.

1.22. Рацион для питания животных на ферме состоит из двух видов кормов А и В. Один килограмм корма А стоит 80 у. е. и содержит: 1 ед. жиров, 3 ед. белков, 1 ед. углеводов, 2 ед. нитратов. Один килограмм корма В стоит 10 у. е. и содержит 3 ед. жиров, 1 ед. белков. 6 ед. углеводов, 4 ед. нитратов. Составить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий жиров не менее 6 ед., белков не менее 9 ед., углеводов не менее 8 ед., нитратов не более 16 ед.

1.23. Хозяйство располагает следующими ресурсами: площадь – 100 ед., труд – 120 ед., тяга – 80 ед. Хозяйство производит четыре вида продукции П₁, П₂, П₃, П₄. Организация производства характеризуется следующей таблицей. Составьте план выпуска продукции, обеспечивающий хозяйству максимальную прибыль.

Продукция	Затраты на 1 ед. продукции	Доход от единицы продукции
площадь	труд	тяга
П1
П2
П3
П4

1.24. Сельскохозяйственное предприятие отвело 3 земельных массива площадью 5 000, 8 000 и 9 000 га под посевы ржи, пшеницы и кукурузы. Средняя урожайность по массивам указана в таблице.

Культура	Средняя урожайность (ц/га) массива
I	II	III
Рожь Пшеница Кукуруза

За 1 ц ржи предприятие получает 2 у.е. прибыли, за 1 ц пшеницы – 2,5 у.е, за 1 ц кукурузы – 1,4 у.е. Сколько гектаров и на каких массивах следует отвести под каждую культуру, чтобы получить максимальную прибыль, если по плану необходимо сдать не менее 1 900 т ржи, 15 800 т пшеницы и 30 000 т кукурузы?

1.25. Для серийного производства некоторого изделия требуются комплекты заготовок профильного проката. Каждый комплект состоит из двух заготовок длиной 1800 мм и пяти заготовок длиной 1700 мм. Как следует раскроить 770 полос проката стандартной длины 6 000 мм, чтобы получить наибольшее количество указанных комплектов?

Линейное программирование

2.1.–2.25. Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств и геометрически найти наименьшее и наибольшее значения линейной функции.

2.1.	2.2.
2.3.	2.4.
2.5.	2.6.
2.7.	2.8.
2.9.	2.10.
2.11.	2.12.
2.12.	2.14.
2.15.	2.16.
2.17.	2.18.
2.19.	2.20.
2.21.	2.22.
2.22.	2.24.
2.25.

3.1.–3.25. Для производства двух видов продукции А и В можно использовать только материал трех сортов. При этом на изготовление единицы изделия вида А расходуется a₁ кг материала первого сорта, a₂ кг материала второго сорта и a₃ кг материала третьего сорта. На изготовление единицы изделия вида В расходуется b₁ кг материала первого сорта, b₂ кг материала второго сорта и b₃ материала третьего сорта. На складе фабрики имеется материала первого сорта c₁ кг, материала второго сорта c₂ кг и материала третьего сорта c₃ кг.

От реализации единицы готовой продукции вида А фабрика имеет прибыль a руб., а от продукции вида В прибыль составляет b руб.

Найти симплекс-методом план производства продукции видов А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. Составить двойственную задачу, указать ее решение. Дать геометрическую интерпретацию решения прямой и двойственной задач.

3.1. a₁ = 7, b₁ = 3, c₁ = 1365, a = 6,

a₂ = 6, b₂ = 3, c₂ = 1245, b = 5.

a₃ = 1, b₃ = 2, c₃ = 650,

3.3. a₁ = 19, b₁ = 26, c₁ = 853, a = 5,

a₂ = 16, b₂ = 17, c₂ = 640, b = 6.

a₃ = 15, b₃ = 7, c₃ = 525,

3.3. a₁ = 6, b₁ = 2, c₁ = 600, a = 6,

a₂ = 4, b₂ = 3, c₂ = 520, b = 3.

a₃ = 3, b₃ = 4, c₃ = 600,

3.4. a₁ = 5, b₁ = 3, c₁ = 750, a = 5,

a₂ = 4, b₂ = 3, c₂ = 630, b = 6.

a₃ = 3, b₃ = 4, c₃ = 700,

3.5. a₁ = 8, b₁ = 2, c₁ = 840, a = 6,

a₂ = 6, b₂ = 3, c₂ = 870, b = 2.

a₃ = 3, b₃ = 2, c₃ = 560,

3.6. a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = 273, a = 4,

a₂ = 3, b₂ = 3, c₂ = 300, b = 5.

a₃ = 2, b₃ = 5, c₃ = 380,

3.7. a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = 438, a = 7,

a₂ = 3, b₂ = 6, c₂ = 747, b = 5.

a₃ = 3, b₃ = 7, c₃ = 812,

3.8. a₁ = 4, b₁ = 3, c₁ = 480, a = 2,

a₂ = 3, b₂ = 4, c₂ = 444, b = 4.

a₃ = 2, b₃ = 6, c₃ = 546,

3.9. a₁ = 8, b₁ = 12, c₁ = 612, a = 11,

a₂ = 7, b₂ = 9, c₂ = 493, b = 9.

a₃ = 16, b₃ = 13, c₃ = 1036,

3.10. a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = 428, a = 3,

a₂ = 3, b₂ = 6, c₂ = 672, b = 8.

a₃ = 2, b₃ = 8, c₃ = 672,

3.11. a₁ = 16, b₁ = 4, c₁ = 784, a = 4,

a₂ = 8, b₂ = 7, c₂ = 552, b = 6.

a₃ = 5, b₃ = 9, c₃ = 567,

3.12. a₁ = 12, b₁ = 3, c₁ = 684, a = 6,

a₂ = 10, b₂ = 5, c₂ = 690, b = 2.

a₃ = 3, b₃ = 6, c₃ = 558,

3.13. a₁ = 9, b₁ = 4, c₁ = 801, a = 3,

a₂ = 6, b₂ = 7, c₂ = 807, b = 2.

a₃ = 3, b₃ = 8, c₃ = 768,.

3.14. a₁ = 11, b₁ = 3, c₁ = 671, a = 5,

a₂ = 8, b₂ = 4, c₂ = 588, b = 2.

a₃ = 5, b₃ = 3, c₃ = 423,

3.15. a₁ = 15, b₁ = 4, c₁ = 1095, a = 3,

a₂ = 11, b₂ = 5, c₂ = 865, b = 2.

a₃ = 9, b₃ = 10, c₃ = 1080,

3.16. a₁ = 6, b₁ = 3, c₁ = 714, a = 3,

a₂ = 5, b₂ = 10, c₂ = 910, b = 9.

a₃ = 3, b₃ = 12, c₃ = 948,

3.17. a₁ = 3, b₁ = 5, c₁ = 453, a = 2,

a₂ = 4, b₂ = 8, c₂ = 616, b = 5.

a₃ = 3, b₃ = 11, c₃ = 627,

3.18. a₁ = 8, b₁ = 3, c₁ = 864, a = 2,

a₂ = 7, b₂ = 6, c₂ = 864, b = 3.

a₃ = 4, b₃ = 9, c₃ = 945,

3.19. a₁ = 9, b₁ = 5, c₁ = 1431, a = 3,

a₂ = 7, b₂ = 8, c₂ = 1224, b = 2.

a₃ = 4, b₃ = 16, c₃ = 1328,

3.20. a₁ = 10, b₁ = 9, c₁ = 1870, a = 7,

a₂ = 5, b₂ = 11, c₂ = 1455, b = 9.

a₃ = 4, b₃ = 15, c₃ = 1815,

3.21. a₁ = 8, b₁ = 7, c₁ = 417, a = 5,

a₂ = 14, b₂ = 8, c₂ = 580, b = 5.

a₃ = 11, b₃ = 17, c₃ = 935,

3.22. a₁ = 8, b₁ = 10, c₁ = 452, a = 9,

a₂ = 7, b₂ = 5, c₂ = 393, b = 9.

a₃ = 8, b₃ = 15 c₃ = 600,

3.23. a₁ = 7, b₁ = 5, c₁ =347, a = 11,

a₂ = 7, b₂ = 2, c₂ = 300, b = 7.

a₃ =12 b₃ = 13, c₃ = 780,

3.24. a₁ = 11, b₁ = 21, c₁ = 735, a = 4,

a₂ = 13, b₂ = 15, c₂ = 741, b = 7.

a₃ = 18, b₃ = 11, c₃ = 990,

3.25. a₁ = 14, b₁ = 8, c₁ = 624, a = 15,

a₂ = 12, b₂ = 4, c₂ = 360, b = 4.

a₃ = 8, b₃ = 2, c₃ = 220,

Теория игр

4.1.–4.25. Определить нижнюю и верхнюю цену игры, найти оптимальное решение и цену игры, заданной матрицей.

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10.

4.11. 4.12. 4.13. 4.14. 4.15.

4.16. 4.17. 4.18. 4.19. 4.20.

4.21. 4.22. 4.23. 4.24. 4.25.

5.1.–5.25. Предприятие может выпускать три вида продукции А₁, А₂, А₃, получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может находиться в одном из четырех состояний В₁, В₂, В₃, В₄.

Виды продукции	Возможные состояния спроса
В1	В2	В3	В4
А1	a11	a12	a13	a14
А2	a21	a22	a23	a24
А3	a31	a32	a33	a34

Элементы матрицы характеризуют величину прибыли a_ij, которую получит предприятие, если будет выпускать i-й вид продукции при j-м состоянии спроса.

Необходимо определить оптимальные пропорции выпускаемых предприятием видов продукции, продажа которой обеспечила бы ему максимально возможную выручку независимо от состояния спроса.

5.1.	5.2.	5.3.
5.4.	5.5.	5.6.
5.7.	5.8.	5.9.
5.10.	5.11.	5.12.
5.13.	5.14.	5.15.
5.16.	5.17.	5.18.
5.19.	5.20.	5.21.
5.22.	5.23.	5.24.
5.25.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Бережная Е. В. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие / Е. В. Бережная, В. И. Бережной. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 368 с.

2. Балдин К.В. Математические методы в экономике / К.В. Балдин, О.Ф. Быстров. – М.: изд-во Московского психолого-социального института, 2003. – 112 с.

3. Грицюк С.Н. Математические методы и модели в экономике: Учебник / С.Н. Грицюк, Е.В. Мирзоева, В.В. Лысенко. – Ростов н/Д: Феникс, 2007. – 348 с.

4. Замков О. О. Математические методы в экономике: Учебник / О. О. Замков, А. В. Толстопятенко, Ю. Н. Черемных. – М.: ДИС, 2001. – 368 с.

5. Ильченко А.Н. Экономико-математические методы: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 288 с.

6. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман; Под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2006. – 407 с.

7. Каплан А.В. Решение оптимизационных задач в экономике: Учеб. пособие / А.В. Каплан, В.Е. Каплан, М.В. Мащенко, Е.В. Овечкина – Ростов н/Д: Феникс, 2007. – 541 с.

8. Лабскер Л. Г. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом: Учеб. пособие / Л. Г. Лабскер, Л. О. Бабешко. – М.: Дело, 2001. – 464 с.

9. Математические и инструментальные методы экономики: Учеб. пособие. / коллектив авторов – М.: КНОРУС, 2012. – 232 с.

10. Солодовников А. С. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / В. А. Бабайцев, А. В. Браилов, И. Г. Шандра. – М.: Финансы и статистика; ИНФРА-М, 2011. – 384 с.

Дата добавления: 2015-12-08