Новые заданные на дом задачи 2011

Доказать методом математической индукции:

1+x+x²+x³+ …+xⁿ=(xⁿ⁺¹-1)/(x-1)

Zi39. 1²+2²+3²+ … +n²=n(n+1)(2n+1)/6

Zi40. 1³+2³+3³+ … +n³=n²(n+1)²/4

Zi41. 1∙2+2∙3+3∙4+ …+n∙(n+1)= n∙(n+1)∙(n+2)/3

Zi42. На сколько частей делится плоскость n прямыми, среди которых нет параллельных и никакие три прямые не пересекаются в одной точке?

Zi43. Процесс порождения несократимых дробей:

Операция 1: p/q -> p/q+1=(p+q)/q

Операция 2: Если p/q >1, p/q -> q/p

Показать, что число дробей в дереве процесса порождения несократимых дробей на каждом уровне равно числу Фибоначчи.

Zi44. Сколько автомобильных номеров можно составить из трех букв и трех цифр? (Считать, что автомобильные номера имеют формат: буква, три цифры, две буквы, например: У579ЭО, и используются только те буквы русского алфавита, которые совпадают с латинскими буквами).

Zi45. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не били друг друга.

Zi46. Сколько кодов-палиндромов (перевертышей) длины 7 можно составить из 26 букв латинского алфавита?

Zi001. На полке стоят 8 разных романов и 9 разных томиков стихов. Сколькими способами можно выбрать 4 романа и 5 томиков стихов?

Zi000. Сколько существует двоичных кодов длины n, в которых ровно k единиц?

Zi002. Сколько способов разместить четырех шахматистов за две шахматные доски?

Zi47a. Сколько существует семизначных десятичных чисел, у которых в первых трех разрядах нет цифр 0, 8, 9?

Zi47. В студенческом общежитии есть три свободные комнаты: одноместная, 3-местная и 4-местная. Сколькими способами можно в этих комнатах разместить 8 студентов?

Zi48. На дискотеке 4 юноши и 6 девушек. Сколько может быть образовано различных разнополых танцующих пар?

Zi49. Из двенадцати человек, включая Машу и Петю, выбрать пятерых в комитет:

а) Сколько всего возможно комитетов?

б) Сколько возможно комитетов, включая Машу и Петю?

в) Сколько возможно комитетов, не включая ни Маши, ни Пети?

г) Сколько возможно комитетов, включающих либо Машу, либо Петю?

Zi50. Доказать по индукции формулу Бине для чисел Фибоначчи:

F_n=(((1+sqrt(5))/2)ⁿ-((1-sqrt(5))/2)ⁿ)/sqrt(5))

Zi51. Сколькими способами можно выбрать три книги из трех одинаковых романов и трех одинаковых томиков стихов?

Zi52. Сколькими способами можно выбрать три буквы из 12-и букв:

ААА БББ ВВВ ГГГ?

Zi53. Сколько вариантов выпадений двух игральных костей?

Zi54. Сколько трехбуквенных слов можно составить из букв слова КРАСИВО, в которых одна гласная и две (разные) согласные?

Zi55. Доказать, что C^m_n∙C^k_m=C^k_n∙C^m-k_n-k

Zi56. Чему равно число всех двоичных последовательностей длины 10, у которых единиц не меньше двух и меньше пяти?

Zi57. Сколько вариантов выпадений пяти игральных костей?

Zi58. Доказать P(n1,n2,n3) = Cⁿ¹_n1+n2+n3 ∙ Cⁿ²_n2+n3

Zi59. Доказать ~C^k_n = P(k,n-1)

Zi60. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв. Словом является любая последовательность, состоящая не более чем из четырех букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо?

Zi61. Сколько существует шестизначных чисел, делящихся на 5?

Zi62. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг, если

(а) две определенные книги должны всегда стоять рядом,

(б) эти две книги не должны стоять рядом?

Zi63. Продаются воздушные шарики трех цветов (красные, синие, желтые). Нужно купить 4 шарика. Сколькими способами это можно сделать?

Ответы:

Zi42. n(n+1)/2+1

Zi46. ~A⁴₂₆ = 26⁴ =

Zi001. С⁴₈∙С⁵₉ =

Zi000. C^k_n

Zi002. А²₄∙2 = 4∙3∙2 = 24

Zi47a. 7³∙10⁴ = 3430000

Zi47. С¹₈∙С³₇ = 8∙7∙6∙5/6 = 8∙7∙5 = 280

P(1,3,4) = 8!/3!/4! = 8∙7∙5 = 280

Zi48. А⁴₆ = 360

Zi49. а) С⁵₁₂ = 792

б) С³₁₀ = 120

в) С⁵₁₀ = 252

г) 2∙С⁴₁₀ = 420 = 720-120-252

Zi51. ~C³₂ = C³₄ = 4: PPP PPC PCC CCC

Zi52. С³_4+3-1 = С³₆ = 6∙5∙4/(2∙3) = 20

Zi53. ~C²₆ = C²_6+2-1 = C²₇ = 7∙6/2 = 21

Zi54. А²₄∙(3+3+3)=12∙9=108 С¹₃∙С²₄∙Р₃=3∙6∙6=108

~ А²₄∙(3+3+3)=16∙9=144

Zi56. С²₁₀ + С³₁₀ + С⁴₁₀ = 10∙9/2+10∙9∙8/6+10∙9∙8∙7/24=45+120+210=375

Zi57. ~C⁵₆ = C⁵_6+5-1 = C⁵₁₀= 10∙9∙8∙7∙6/5! = 252

Zi60. 3+3^.3+3^.3^.3+3⁴ = 120

Zi61. 9^. 10^4. 2 = 180000

Zi62. а) 2 ^. 6! = 1440 б) 7! -2 ^. 6! = 5 ^. 6! = 3600

Zi63. С⁴_3+4-1=С₆⁴=С₆²=6*5/2=15

Дата добавления: 2015-12-08