Функции и отношение правдоподобия. Пороги обнаружения.

В основу работы различителя положена функция правдоподобия (ФП) W(y(t)|H_i). ФП —единственная из всех используемых различителем величин, зависящая от вида принятой реализации. После формирования ФП различи­тель либо приступает к при­нятию решения, либо предварительно вычисляет апо­стериорные вероятности или услов­ные средние риски. В последних случаях помимо найденной в дан­ном опыте ФП приходится учитывать заранее заданные константы (ап­риорные ве­роятности p _i и риски П _iк).

Нахождение ФП в условиях, когда помеха полностью статистически задана и опе­ратор взаимодействия сигнала и помехи F[•,•] конкретизирован, не представляет труда. ФП есть условная правдоподобность на­блюдаемого процесса при условии ис­тинности H_i, рассматриваемая для фиксиро­ванной реали­зации y(t) как функция но­мера гипотезы. Т. е., если имеется выраже­ние ПВ W(y(t)|H_i), то полу­чение ФП сводится к подстановке в него данной наблюдаемой реализации и варьи­рованию i в пределах от 0 до М-1.

Дальнейшее различение и об­наружение сигналов будет вестись применительно к помехе в виде аддитивного (гауссовского) шума. Это означает, что помеха складыва­ется с сиг­налом, так что под F[•,•] понимают обычную алгебраи­ческую сумму сигнала и помехи. Будем считать шум белым.

Детерминированные сигналы. При различении М детер­минированных сигна­лов на фоне аддитивного шума гипотеза H_i, означает, что y(t) = x(t) + s _i (t), т.е. x(t)=y(t)-s _i (t). Поэтому из выражения для ФП получаем:

, где обозначением W_n(·) подчеркнуто, что y(t)-s_i(t) подставляют в ПВ помехи x(t)=n(t).

Последняя запись позволяет дать наглядную интер­претацию правила МП: для данной реализации y(t) принимают решение о присутствии в ней того из М сиг­на­лов, который наименее уклоняется от y(t). При этом мерой уклонения является энер­гия разности y(t) и s_i (t).

Для дальнейшего использования ФП удобно предста­вить в форме: (2.17), где — энергия i-го сигнала; —корреляционный интеграл принятой реализации и i-го сигнала; с_y =с·ехр —коэффициент, зависящий от y(t), но не от i.

Смысл корреляционного интеграла очевиден: если y(t) и s_i(t), рассматривать как векторы в бесконечно­мерном пространстве, то z_i окажется их скалярным произ­ведением, т. е. величиной, характеризующей сход­ство y(t) и s_i(t). Отсюда выте­кает следующая физическая трактовка правила МП применительно к различению M де­терминированных сигналов равной энергии (E_i=E,i=0, 1,..., М-1): принимают реше­ние о наличии в y(t) того сигнала, который имеет наибольшее сходство с y(t).

Сигналы со случайными параметрами. При различении сигналов со случай­ными параметрами, априорные распределения ко­торых заданы, может быть получена ус­реднением ФП, построенной для детер­минированных сигналов. При конкретных зна­чениях неизвестных параметров 1-го сигнала последний становится детерминиро­ванным и, согласно (2.17), где ; — энергия i-го сигнала с фиксированным и равным значе­нием вектора неизвестных параметров; — корреляция y(t) c сигналом, имеющим фиксированное и рав­ное значение вектора неизвестных пара­метров. Приходим к выражению для ФП:

Принципы обнаружения и различения сигналов необходимо конкретизировать при­менительно к различным моделям сигналов. При этом главная цель будет состоять в отыскании алгоритмов работы оптимальных уст­ройств и определении их качест­вен­ных показателей. Для обнаружителей это будут веро­ятности пропуска сигнала р_пс или правильного обнару­жения р_по= Р( |Н₁)=1-р_пс.

Бинарное обнаружение полностью известного сигнала. Отношение правдоподобия. Структурная схема обнаружения. Распределение плотности вероятности выходного сигнала коррелятора с сигналом и шумом. Характеристики обнаружения.

Процедура оптимального обнаружения полностью из­вестного сигнала s(t) сво­дится к вычислению отношения правдоподобия L или любой монотонной функции f(L) и сравнению их с соответствующими пороговыми значениями. Учитывая вид L для рассматриваемой задачи и выбрав в качестве f(L) Ln L, получим следующее решающее правило:

где — корреляция, определяющая сте­пень сходства наблюдаемой реали­зации у(t) с ожидаемым сигналом s(t). При гипо­тезе Н₁ и корреляция в среднем будет больше, чем при гипотезе H₀, когда y(t)=n(t). Это и используется при обнаружении. Входящий в поро­говый уровень z_п зависит от принятого критерия обнару­жения. Так, при общем байесовском подходе z_п=0,5N₀(LnL_п+E/N₀). При ориен­тации на критерий Неймана-Пирсова z_п оп­ределяется заданным уровнем вероятно­сти ложной тревоги р_лт. Структура корреляционного приемника, реализующая алго­ритм, приведена на рис. Третий слева блок предназначен для взятия отсчета (стробирования) текущего значения на выходе ин­тегратора в момент окон­чания наблюдений Т.., введя безразмерную переменную , получим . Где Ф(x)= —интеграл вероятности; —нормированный пороговый уро­вень; —параметр обна­ружения,=отношению с/ш на вых фильтра, со­гласованного с обна­руживаемым сигналом s(t). График функции Ф(х) приведен на рис. С учетом того, что Ф(-х)=1- Ф(х), р_пс можно представить в виде: . С помощью осуществ­ляется расчет обнаружи­теля в соответствии с при­нятым критерием опти­мальности. Так, при ис­пользовании кр. Ней­ма­на— Пирсона тре­буется менять р_пс при фиксиро­ванном значе­нии р_лт. При этом из урав­нения р_лт=1-Ф(h) следует найти нормированный по­рог h=ф^-1(1-p_лт), где Ф^-1(·) — функция, обратная Ф(х), и подставить полученное значение h в формулу для p_пс (или р_по=1-р_пс). Зависимости от q при фикси­рован­ных значениях вероятности ложной тревоги называют характеристи­ками об­наружения. Опи­раясь на свойства интеграла вероятности Ф(x), легко уста­новить, что зависимость р_по от q является монотонно возрастающей, асимптотиче­ски стремя­щейся к единице при q→∞. При q = 0,р_по=1-Ф[Ф^-1(1-р_лт)]=р_лт.

11. Обнаружение сигнала со случайной начальной фазой. Отношение правдоподобия, структурная схема обнаружителя. Характеристика обнаружения.

Рассмотрим сигнал, который не может считаться детерми­нированным, так как содержит случайный параметр — фазу : .

В общем виде модель такого сигнала можно записать как (3.9), где S(t) и (t) — известные законы амплитудной и угловой модуляции; — извест­ная центральная частота; — случайная начальная фаза с априорной ПВ ; — комплексная огибающая сигнала s(t), являю­щегося реализацией s(t; ) при = 0: s(t) = s(t;0).

Оптимальный обнаружитель должен формировать усредненное ОП и сравни­вать его с порогом. Поскольку начальная фаза радиоимпульса является неэнергети­ческим параметром, т. е. выражение примет вид (3.10) где Пользуясь тем, что для любых функ­ций и (равенство Парсеваля для преобразования Гильберта), выражение для можно представить в виде где и — аналитические сигналы.

Так как , где —комплексная огибающая входной реализа­ции y(t), то

Во многих задачах начальную фазу сигнала φ можно считать равномерно рас­пре­деленной на интервале [-π,π]: W_о(φ) =1/(2π), |φ|≤π.

Так как I₀(x) при x≥0 монотонно зависит от своего аргумента, то соотноше­ние (3.13) позволяет решающее правило записать как: получаем

Т.о., оптимальный обнаружитель сигнала со случайной начальной фа­зой должен вычислять длину Z вектора с декартовыми составляющими z₁ и z₂. Как следует из формул выше, Z является

абсолютным значением корреляции комплекс­ных оги­бающих принятого коле­бания Y(t) и сигнала E(t). Перепишем выражение для Z следующим образом: , где При этом, согласно (3.15), z₁ и z₂ есть корреляции принятой реализации y(t) с квадратур­ными составляющими сигнала s(t)= S(t)cos[2πf₀+γ(t)] и s_┴(t)=S(t)sin[2πf₀+γ(t)]—детерминирован­ными колеба­ниями, несущие которых сдвинуты по фазе на угол π/2, s_┴(t) — преоб­разование Гиль­берта сигнала s(t) = s(t;0)]. Структура такого обнаружителя пока­зана на рис. 3.7.

Отличительной особенностью обнаружителя рис. 3.7 является наличие вто­рого коррелятора и принятие решения по статистике Z, объединяющей выход­ные эффек­ты обоих каналов. .

Иная реализация оптимального обнаружителя возмож­на при использовании фильтра, у которого комплексная огибающая импульсной характеристики H(t) = S *(T-t). Подобный фильтр согласован с сигналом s(t;φ), имеющим некоторое фик­сированное значение φ, например φ=0 [в тoм случае фильтр согласован с первой из квадратурных составляющих сигнала, т. е. с s(t)]. Огибающую на выходе этого СФ У_вых(t) при воздействии y(t) на входе можно найти с помощью комплекс­ного интег­рала Дюамеля:

При равенстве нулю сигнала за пределами интервала наблюдения [0,T], как сле­дует из (3.12), Y_вых(Т)=Z. Т.о., статистика Z может быть интерпрети-рована как значение огибающей на выходе СФ в момент времени t=Т. Структурная схема об­наружителя па основе СФ приведена на рис. 3.8. Вместо ли­нейного де­тектора (ЛД) можно использовать любой, лишь бы его амплитудная ха­рактеристика была монотонной функцией огибающей входного процесса.

Для того чтобы рассчитать р_лт, р_пс в рассматриваемом случае, достаточно вспом­нить, что отсчеты огибающей узкополосного нормального шума с дисперсией σ² распре­делены по закону Рэлея. И подчиняются обобщенному закону Рэлея, если к шуму добавляется сигнал с амплитудой U_м. Hа выходе СФ σ² = N₀E/2, U_M = E.

Для построения характеристик обнаружения необходи­мо выразить нормирован­ный порог h через заданную вероятность ложной тревоги р_лт. Согласно (3,18), . Подставив это в выражение для вероятности правильного об­нару­жения, придем к результату: Р_по= 1 -Р_пс = 1 -Q(, q). Для определения порогового сигнала нужно решить уравнение Р_пс= Q(, q) относительно q: qмип = ,р_пс),где Q₂^-1 '(•,•)— функция, обратная Q-функции по второму аргументу. Соот ношеаия (3.8) и (3,9) позволяют оценить пoтери в пороговом сигнале, связанные со случайным характером фазы. Эти потери обычно характеризуют показателем

Где q_1мин(р_лт,р_пс) и q_2мин(р_лт,р_пс)—пороговые отношения с/ш, необходимые для обнаружения с верностью р_лт,р_пс соответст­венно детерминированного сигнала и сиг­нала со случайной начальной фазой. Ве­личина ξ показы­вает, во сколько раз следует увеличить энергию сигнала (т. е. его среднюю мощность р_ср при Т= const или длительность Т при р_ср = const), чтобы скомпенсировать снижение верности, обу­словленное случай­ностью начальной фазы.

Дата добавления: 2015-12-08