Метод интегрирования линейного ДУ 1-го порядка.

Линейное ДУ 1-го порядка имеет вид: a(x)y' + b(x)y + c(x) = 0, где a(x) и b(x) и с(x) - заданные функции. Если a(x) не равно 0, то уравнение a(x)y' + b(x)y + c(x) = 0 можно записать в приведенном виде: y' + p(x)y = f(x), где p(x)=b(x)/a(x) и f(x)=-c(x)/a(x) (f(x) - свободный член или правая часть уравнения). Мы будем предполагать, что p(x) и f(x) непрерывны на некотором интервале [a,b].

Для решения уравнения y' + p(x)y = f(x) искомую функцию представим в виде произведения двух множителей: y=uv, где u – некоторое ненулевое решение соотвествующего однородного уравнения:

u’+p(x)u=0, а v – новая неизвестная функция. Так как y’=vu’+uv’, то, подставляя выражения y=uv и y’=vu’+uv’ в уравнение y' + p(x)y = f(x), получим v(u’+p(x)u)+uv’=f(x) или в силу u’+p(x)u=0 имеем: uv’=f(x). Заметим, что фактически функция u подбирается так, чтобы коэффициент при v в уравнении v(u’+p(x)u)+uv’=f(x) был равен 0. Из уравнений u’+p(x)u=0 и uv’=f(x) последовательно находятся функции u и v, причем для u выбирается какое-нибудь конкретное решение, отличное от 0. Подставляя полученные выражения для функций u и v в формулу y=uv, найдем искомую функцию y.

Примечание: на практике не необходимости линейное уравнение a(x)y' + b(x)y + c(x) = 0 приводить к виду y' + p(x)y = f(x); можно сразу использовать подстановку y=uv.

Метод интегрирования уравнения Бернулли

Уравнение Бернулли – ДУ вида y’ + a(x)y = b(x) y^n, где n <> 0 (лин. ДУ 1-го порядка) и n<>1 (ур-е с раздел. переменными). С помощью замены переменной t=1/(y^(n-1)) уравнение Бернулли сводится к линейному. Также до замены для удобства можно левую и правую часть разделить на y^n.При 0<n<1 уравнение Бернулли имеет особое решение x=0.

2 способ. Подстановкой y=uv ур-е Бернулли сводится к двум ур-ям с раздел. Переменными.

28. Поле направлений, определяемое ДУ y’=f(x,y).

Область D(f) принадл. R^2, в каждой точке которого отмечено направление (угловой коэффициент, равный f(x,y)) касательной к интегральной кривой y’=f(x,y). Линия y=y(x) является интегральной кривой y’=f(x,y) в том и только том случае, когда она служит характеристикой поля напрвлений, т.е. имеет в каждой своей точке касательную с угловым коэффициентом f(x,y), предписанным полем направлений. (Другими словами: характеристика в каждой точке касается направления поля в этой точке).

Поле направлений используют для выявления общих свойств семейства линий y’=f(x,y) и для графического интегрирования ДУ y’=f(x,y), когда отправляясь от начальной точки M0 вправо, последовательно строят ломаную Эйлера M0M1…Mn, состоящую из отрезков Mk-1Mk, направления которых на левом конце Mk-1 совпадает с направлением поля в точке Mk-1, а проекция на ось Ox равна по длине предписанной величине h-шагу ломаной Эйлера. Аналогичную схему используют и для построения ломаной Эйлера влево. Ломаная Эйлера явл. Графиком приближенного решения y’=f(x,y) с начальным значением M0. Погрешность этого приближенного решения уменьшается при уменьшении шага ломаной Эйлера.

Изоклины (1)

Решение уравнения y’=f(x,y), проходящее через точку (x,y) должно иметь в этой точке производную y’, равную f(x,y), т.е. оно должно касаться прямой, наклоненой под углом a=arctg f(x,y) к оси Ox. Геометрическое место точек плоскости (x,y), в которых наклон касательных к решениям уравнения y’=f(x,y) один и тот же, называется изоклиной. Следовательно, уравнение изоклины имеет вид f(x,y)=k, где k-постоянная.

Чтобы приближенно построить решения уравнения y’=f(x,y), можно начертить достаточное число изоклин, а затем провести решения, т.е. кривые, которые в точках пересечения с изоклинами f(x,y)=k1, f(x,y)=k2, … имеют касательные с угловыми коэффициентами соответственно k1, k2, ….

Дата добавления: 2015-12-08