Уравнения Максвелла

Читайте также:

(классическая электродинамика)

Итак, переменное магнитное поле вызывает появление вихревого электрического поля. Переменное электрическое поле вызывает появление магнитного поля. Взаимно порождаясь, они могут существовать независимо от тех зарядов или токов, которые первоначально создали одно из них. В сумме это есть электромагнитное поле. Превращение одного поля в другое и распространение в пространстве – есть способ существования электромагнитного поля (ЭМП). Конкретные его проявления: радиоволны, свет, g -лучи и т.д.

Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений – макроскопическую теорию электромагнитного поля. Теория Максвелла не только объясняла с единой точки зрения все разрозненные явления электричества и магнетизма, но и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии. Теория Максвелла основана на четырех фундаментальных уравнениях, каждое из которых мы уже рассматривали в отдельности. В сжатой форме эти уравнения содержат всю совокупность сведений об электромагнитном поле. В учении об электромагнетизме эти уравнения играют такую же роль, как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) в термодинамике.

Уравнения Максвелла в интегральной форме.

Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру равна со знаком минус производной по времени от магнитного потока через произвольную поверхность, ограниченную этим контуром.

Что описывает это уравнение?

Оно описывает явление электромагнитной индукции, что переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле и устанавливает количественную связь между ними. В этом физический смысл этого уравнения.

Поскольку электрическое поле может быть как потенциальным , так и вихревым , в первом уравнении Максвелла . Это уравнение показывает, что источником электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.

Поток вектора индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю.

Это уравнение выражает свойство магнитного поля, что линии вектора магнитной индукции всегда замкнуты, и что магнитных зарядов нет.

Это теорема Гаусса для поля .

Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру равна полному току через произвольную поверхность, ограниченную этим контуром.

Под полным током понимается сумма токов проводимости и смещения. Эта теорема показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

Или другими словами, показывает связь между полным током и порождаемым им магнитным полем.

4.

Поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность в произвольной среде равен стороннему заряду, заключенному внутри поверхности.

Это уравнение так же показывает, что силовые линии векторов начинаются или заканчиваются на зарядах.

Это постулат Максвелла, который выражает закон создания электрических полей действием зарядов в произвольных средах. Постулат записан в общем виде, для стороннего заряда, распределенного внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью .

Это теорема Гаусса для векторов .

Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля. Магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими токами. Уравнения Максвелла не симметричны относительно магнитных и электрических полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

Для стационарных полей ( и ) уравнения Максвелла примут вид:

; ; ; .

Необходимо помнить, что величины входящие в эти четыре уравнения не являются независимыми и между ними существует связь.

5. . 6. . 7. .

Уравнения (1 – 7) составляют систему уравнений Максвелла в интегральной форме. Они являются наиболее общими для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Уравнения Максвелла инвариантны по отношению к преобразованиям Лоренца.

В электродинамике наряду с уравнениями Максвелла в интегральной форме применяются и уравнения в дифференциальной форме. Прежде чем записать эти уравнения, необходимо вспомнить некоторые понятия, формулы и теоремы векторного анализа.

Ранее, определяя связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом, мы ввели в рассмотрение оператор (набла) или оператор Гамильтона:

.

Рассмотрим несколько подробнее свойства этого оператора. Под оператором набла () подразумевается вектор с компонентами , , :

Сам по себе этот оператор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной величиной, на которую он умножается. Пример приведен выше: если умножить этот вектор на скаляр , получится вектор, который представляет собой градиент функции – .

Если вектор умножить скалярно на вектор , получится скаляр, который имеет смысл дивергенции вектора :

Наконец, если умножить вектор на вектор векторно , получится вектор с компонентами , , . Этот вектор называют "ротор вектора " – . Такое векторное произведение можно записать с помощью определителя

.

Итак, существуют три формы записи оператора набла () в сочетании со скалярной или векторной функцией:

а) при умножении оператора набла на скалярную функцию, например, – , получится градиент : ;

б) при умножении оператора набла скалярно на вектор, например, – , получится дивергенция вектора : ;

в) при умножении оператора набла векторно на вектор, например, – , получится ротор вектора : .

Применение вектора набла упрощает и облегчает написание формул векторного анализа, поэтому используется часто.

Запишем также две теоремы векторного анализа, которые позволят осуществить переход от интегральных величин к дифференциальным.

1. Теорема Остроградского – Гаусса. Теорема Остроградского – Гаусса устанавливает связь между дивергенцией вектора и потоком этого вектора через замкнутую поверхность , ограничивающую объем :

Поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции вектора по объему , ограниченному этой поверхность.

2. Теорема Стокса. Теорема Стокса устанавливает связь между ротором вектора в каждой точке некоторой поверхности и циркуляцией этого вектора по контуру , ограничивающему :

Циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна потоку вектора через произвольную поверхность , ограниченную контуром (натянутую на контур).