Финансовая эквивалентность обязательств и процентных ставок, уравнения эквивалентности. Эффективная ставка.

Процентные и учетные ставки решают одни и те же задачи: определяют степень доходности при операции наращения или размеры дисконтированных сумм при учетных операциях. В связи с этим возможен выбор таких процентных или учетных ставок, при использовании которых финансовые последствия окажутся равноценными. Ставки, обеспечивающие равноценность финансовых последствий, называются эквивалентными.

Определение: эквивалентными считаются такие значения, различающихся по своему виду процентных ставок, применение которых в однотипных по назначению операциях приводит к одинаковым финансовым результатам.

Для процедур наращения и дисконтирования могут применяться различные виды процентных ставок. Определим те их значения, которые в конкретных условиях приводят к одинаковым финансовым результатам. Иначе говоря, замена одного вида ставки на другой при соблюдении принципа эквивалентности не изменяет финансовых отношений сторон в рамках одной операции. Для участвующих в сделке сторон, в общем, безразлично, какой вид ставки фигурирует в контракте.

Понятие эквивалентности ставок используется при:

- сравнении ставок, применяемых в различных финансовых соглашениях (сложная годовая ставка i [ставка наращения процентов] эквивалентна ставке j [номинальная годовая ставка] при начислении процентов m раз в году);

- определении эффективности финансово-кредитных операций (определяются эквивалентные годовые ставки простых и сложных процентов);

- безубыточной замене одного вида процентных ставок и метода их начисления другими.

В принципе соотношение эквивалентности можно найти для любой пары различного вида ставок – простых и сложных, дискретных и непрерывных.

Формулы эквивалентности ставок во всех случаях получим исходя из равенства взятых попарно множителей наращения.

Эквивалентность простой ставки процентов и учетной ставки. При выводе искомых соотношений между ставкой процента и учетной ставкой следует иметь в виду, что при применении этих ставок используется временная база К=360 или К=365 дней. Если временные базы одинаковы, то из равенства соответствующих множителей наращения следует:

= 1- nd_s

i _s = , d_s= ,

где n – срок в годах, i_s – ставка простых процентов, d_s – простая процентная ставка.

Эквивалентность простых и сложных ставок. Для этого приравняем друг к другу соответствующие множители наращения.

Эквивалентность i_s и i.

S = P(1 +n i_s) – формула простых процентов;

(1 + ni_s) – множитель наращения простых процентов;

S = P(1 + i)ⁿ –формула сложных годовых ставок;

(1 + i)ⁿ – множитель наращения сложных годовых ставок;

где i_s и i - ставки простых исложных процентов,

имеем (1 + ni_s) = (1 + i)ⁿ .

Приведенное равенство предполагает, что начальные (Р) и наращенные суммы (S) при применении двух видов ставок идентичны.

Решение приведенного равенства дает следующие соотношения эквивалентности:

i_s = ,

i = .

Пример: Какой сложной годовой ставкой можно заменить в контракте простую ставку 18% (К = 365), не изменяя финансовых последствий? Срок операции 580 дней.

Решение:

i = = или 17,153%

Эквивалентность простой учетной ставки и сложной ставки наращения (d_s и i)

= (1 + i)ⁿ

i = ;

d_s = .

Эквивалентность сложных ставок. i и d (сложной ставки наращения и сложной учетной ставки)

(1 + i)ⁿ =

i = ; d = .

Эффективная ставка. На практике, как правило, в контрактах фиксируется не ставка за период, а годовая ставка, и одновременно указывается период начисления процентов.

Пусть годовая ставка равна j, а число периодов начисления в году равно m. Таким образом, каждый раз проценты начисляются по ставке i = j/m. Ставка j называется номинальной. Формула наращения примет вид:

S = P(1 + j/m)^N, где N = m ´ n – общее количество периодов начисления.

Все формулы для определения эквивалента годовой ставки сложных процентов являются формулами расчета эффективной ставки.

Определение: эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m (т.е. по номинальной ставке).

Эта ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год.

Обозначим эффективную ставку через i.

По определению множители наращения по эффективной и номинальной процентной ставках при m-разовом начислении процентов должны быть равны:

(1+i)ⁿ = (1+j/m)^mn, Þ i =(1+j/m)^m – 1

При подготовке контрактов может возникнуть необходимость в решении обратной задачи – в определении j (номинальной ставки) по заданным значениям i и m.

j = m(

Эффективная учетная ставка (d). Дисконтирование может производиться не один, а m раз в году, т.е. каждый раз учет производится по ставке j/m. В этом случае

P = S , где f – номинальная годовая учетная ставка.

Финансовая эквивалентность обязательств. На практике нередко возникают случаи, когда необходимо заменить одно денежное обязательство другим, например с более отдаленным сроком платежа, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи) и т.п. Ясно, что такие изменения не могут быть произвольными. Неизбежно возникает вопрос о принципе, на котором должны базироваться изменения условий контрактов. Таким общепринятым принципом является финансовая эквивалентность обязательств.

Определение: Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи «приведенными» к одному моменту времени, оказываются равными.

Приведение осуществляется путем дисконтирования (приведение к более ранней дате) или наращения суммы платежа (если эта дата относится к будущему).

Если при изменении условий контракта принцип финансовой эквивалентности не соблюдается, то одна из участвующих сторон терпит ущерб, размер которого можно заранее определить.

Применение принципа финансовой эквивалентности не ограничено рамками задач изменения контрактов. Он лежит в основе преобладающего числа методов количественного финансового анализа.

По существу, принцип эквивалентности в наиболее простом проявлении следует из формул наращения и дисконтирования, связывающих величины Р и S. Величина P эквивалентна S при принятой процентной ставке и методе ее начисления. Две суммы денег S₁ и S₂, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы. Замена S₁ на S₂ в этих условиях формально не изменяет отношения сторон.

На принципе эквивалентности основывается сравнение разновременных платежей.

Как видим, сравниваемые обязательства не являются эквивалентными при заданной ставке и в силу этого не могут адекватно заменять друг друга.

Сравнение платежей предполагает использование некоторой процентной ставки и, следовательно, его результат зависит от выбора ее размера. Однако, что практически весьма важно, такая зависимость не столь жестка, как может показаться на первый взгляд. Допустим, сравниваются два платежа S₁ и S₂ со сроками n₁ и n₂, причем S₁ < S₂ и n₁ < n₂. соотношение их современных стоимостей зависит от размера процентной ставки.

i₀

P

i

P₁

P₂

С ростом i размеры современных стоимостей уменьшаются, причем при i = i₀ наблюдается равенство Р₁ = Р_2. для любой ставки i < i₀ имеем Р₁ <P₂. таким образом, результат сравнения зависит от размера ставки, равного i₀. Назовем эту ставку критической или барьерной. Рассчитаем барьерную ставку на основе равенства

находим i₀ = .

Для данных предыдущего примера имеем

i₀ = = 0,428 или 42,8%

таким образом, соотношение Р₂ > Р₁ справедливо при любом уровне процентной ставки, который меньше 42,8%

Консолидирование (объединение) задолженности. Принцип финансовой эквивалентности платежей применяется при различных изменениях условий выплат денежных сумм:

- их объединении,

- изменении сроков (долгосрочном погашении задолженностей или, наоборот, пролонгировании срока) и т.п.

Общий метод решения подобного рода задач заключается в разработке так называемого уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных обязательств, приведение осуществляется обычно на основе простых ставок, для средне- и долгосрочных – с помощью сложных процентных ставок. Заметим, что в простых случаях часто можно обойтись без разработки и решения уравнения эквивалентности.

Одним из распространенных случаев изменения условий контрактов является консолидация (объединение) платежей.

Пусть платежи S₁, S₂,…, S_m со сроком n_1, n₂,…, n_m заменяются одним в сумме S₀ и сроком n₀. В этом случае возможны две постановки задачи:

1) Если задается срок n₀, то находится сумма S₀.

2) Если задана сумма консолидированного платежа S₀, то определяется срок n_0.

Рассмотрим обе постановки задачи.

1. Определение размера консолидированного платежа.

В общем случае, когда n₁<n₂<…<n_m, искомую величину находим как сумму наращенных и дисконтированных платежей. Так, при применении простых процентных ставок получим

S₀ =

Где S_j – размеры объединяемых платежей со сроком n_j < n₀, S_k – размеры платежей со сроком n_k > n_0,, t_j = n₀ – n_j, t_k = n_k – n_0.

При сложных ставках:

S₀ =

2. Определение срока консолидированного платежа (n₀).

При применении простых ставок.

n₀ =

При сложных ставках

n₀ =

Общая постановка задачи изменения условий контракта. Рассмотрим общие случаи изменения условий выплат, для которых решение нельзя получить простым суммированием приведенных на некоторую дату платежей. В таких случаях решение основывается на принципе эквивалентности платежей до и после изменения условий. Метод решения заключается в разработке соответствующего уравнения эквивалентности. Если приведение платежей осуществляется на некоторую начальную дату, то получим следующие уравнения эквивалентности в общем виде:

- при использовании простых процентов,

- при использовании сложных процентов.

Здесь S _j и n_j - параметры заменяемых платежей, S _k и n_k – параметры заменяющих платежей.

Конкретный вид равенства определяется содержанием контрактов, поэтому методику разработки уравнений эквивалентности удобнее показать на примерах.

Билет №9.

Дата добавления: 2015-12-08