Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Читайте также:
  1. I. 2.3. Табличный симплекс-метод.
  2. I. 3.2. Двойственный симплекс-метод.
  3. I. Передача параметров запроса методом GET.
  4. II. Методика работы
  5. II. Методика работы.
  6. II. Методика работы.
  7. II. Методика работы.

Рассмотренные выше для вычисления неопределенного интеграла метод замены переменной (подстановка и подведение под знак дифференциала) и метод интегрирования по частям также применяются и для вычисления определенного интеграла.

Теорема 1. Пусть выполняются условия:

1) функция интегрируема на отрезке ;

2) функция определена и непрерывна вместе со своей первой производной на отрезке ;

3) – множество значений функции ;

4) , .

Тогда справедлива формула .

Доказательство. Согласно условиям теоремы сложная функция непрерывна на отрезке . Тогда на отрезке для этой функции существует первообразная . Применяя формулу (9.2), получим

.

Рассмотрим метод подстановки в определенном интеграле. Схема вычисления выглядит здесь следующим образом:

, (4.1)

где интеграл справа может оказаться проще исходного интеграла (или вообще, является табличным интегралом). Рассмотрим пример.

Пример 1. Вычислить определенный интеграл .

Решение. В данном случае функция является непрерывной на отрезке . Воспользуемся формулой (4.1). Примем сначала и отсюда найдем функцию . Имеем для этого или Далее имеем .

Теперь необходимо сделать замену пределов (найти значения ):

если , то ,

если , то .

Применяя формулу (4.1), получим

.

Рассмотрим метод подведения функции под знак дифференциала в определенном интеграле. Схема вычисления выглядит здесь следующим образом:

, (4.2)

где полученный интеграл справа вычисляется проще, чем исходный интеграл, или вообще сводится к одному из табличных интегралов. Рассмотрим пример.

Пример 2. Вычислить определенные интегралы:

1) ; 2) .

Решение. 1) Подынтегральная функция является непрерывной на отрезке . Примем , так как

.

Воспользуемся формулой (4.2):

.

2) Функция является непрерывной на отрезке . Пусть , . Применение формулы (4.2) дает:

.

Теорема 2. Если функции и определены и непрерывны на отрезке вместе со своими производными, тогда справедлива формула

или . (4.3)

Заметим, что все, что касалось формулы интегрирования по частям в неопределенном интеграле (в том числе и типы интегралов), полностью переносится и на определенный интеграл.

Пример 3. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Вычисляем интеграл по формуле (4.3):

.

Вычисляем отдельно интеграл по формуле (4.3):

.

Окончательно .

 

Лекция 3


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 172 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Формула Ньютона-Лейбница| Численные методы вычисления определенного интеграла

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.012 сек.)