Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Способ подстановки (замены переменных).

Читайте также:
  1. III этап. Анализ и оценка ликвидности и платёжеспособности предприятия.
  2. Lt;question>Что такое способ производства?
  3. XI. ПРИСПОСОБЛЕНИЕ И ДРУГИЕ ЭЛЕМЕНТЫ, СВОЙСТВА. СПОСОБНОСТИ И ДАРОВАНИЯ АРТИСТА
  4. А) взрывная сила является компонентом скоростно-силовых способностей
  5. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ СПОСОБЫ ЗАКАТЫВАНИЯ КОРНЕРОВ
  6. Анализ конкурентоспособности продукции
  7. Анализ конкурентоспособности фирмы.

 

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

 

Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:

f(x)dx = f[j(t)]j¢(t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

 

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

 

Пример.

Замена Получаем:

 

 

Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

 

 

Интегрирование по частям.

 

Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv)¢ = u¢v + v¢u

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

 

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

или ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

 

Пример.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

 

Пример.

 

 

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

 

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

 

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.

 

Пример.

 

Пример.

 

 

Пример.

 

Пример.

 

 

 

Пример.

 

 

Пример.

 

 

Пример.

Пример.

Пример.

 

Пример.

 

 


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 61 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Неопределенный интеграл.| Хроника патентных споров Apple с другими компаниями в 2008-2012 гг

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)