Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Приближенное вычисление определенных интегралов.

Читайте также:
  1. В) Вычисление интервала корреляции;
  2. Векторное произведение двух векторов. Условие коллинеарности векторов. Вычисление площади параллелограмма и треугольника.
  3. Выборка с группированием данных и вычислением функций агрегации
  4. Выдает разрешения на строительство и разрешения на ввод объектов в эксплуатацию в случаях, определенных пунктом 8 части 6 настоящей статьи;
  5. Вычисление выборочных характеристик распределения
  6. Вычисление двойного интеграла
  7. Вычисление дисперсии иа основании индивидуальных значений испытуемых

Наиболее часто используемый метод численного интегрирования основан на замене подынтегральной функции интерполированной, как правило, не выше квадратичной.

Пусть требуется вычислить интеграл

от функции, заданной на [a, b] значениями f0, f1, …, fn в n узловых точках x0, x1, …, xn.

   

Рис. 1

 

Разобьем [a, b] на m отрезков, которые могут содержать несколько узлов (рис.1a). Тогда

На каждом отрезке [xi, xi+k ], содержащем k узлов, составляем интерполяционный многочлен Lk(x) (рис. 1b), и, заменяя подынтегральную функцию f(x)» Lk(x), получим

(1)

где Aj – коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но не от функции f, r – погрешность. Суммируя выражения (1) по всем отрезкам, получаем квадратурную формулу:

Здесь R – погрешность квадратурной формулы. Рассмотрим некоторые простые квадратурные формулы на равномерной сетке с шагом h = xi+1 – xi = const.

 

1. Формулы прямоугольников.

Простейшие формулы получаются в том случае, когда в качестве интерполирующей функции берется константа (интерполирование проводится по одной точке). В данном случае функция f(x) заменяется ступенчатой функцией (рис. 2).

   

Рис. 2

Если интерполяция проводится по левой или правой точке отрезка [xi, xi+1 ], то квадратурные формулы имеют вид соответственно (рис. 2a, b):

(2)

(3)

где h = (b – a)/n.

 

Формула средних. Если в качестве интерполирующей точки выбирается средняя точка между xi и xi+1 (рис. 2с), то

 

(4) где погрешность равна

 

(5)

Формула средних дает точное значение интеграла, если подынтегральная функция линейна.

 

2. Формула трапеций.

Интерполирование исходной функции по двум точкам в промежутке [xi, xi+1 ] между соседними узлами приводит к замене f(x) отрезком прямой, а на отрезке [a, b] – ломаной кривой (рис. 3). На равномерной сетке интеграл по формуле трапеций равен

(6)

Погрешность формулы трапеций.

(7)

Формула трапеций является точной для линейной функции f(x), однако, в данном случае погрешность вдвое выше, чем погрешность формулы средних.

   

Рис. 3

 

3. Формула Симпсона.

Квадратурная формула Симпсона на равномерной сетке имеет вид:

(8)

где шаг равен

Здесь интерполяция проводится квадратичным многочленом по трем соседним узлам xi, xi+1, xi+2, вследствие этого общее разбиение отрезка должно быть таким, чтобы n = 2m было четным.

Погрешность формулы Симпсона равна

(9)

Формула Симпсона является точной для подынтегральных функций, являющихся многочленами до третьей степени включительно.

 

Пример 1. Вычислить интеграл по формуле трапеций (n = 10) и формуле Симпсона (n = 10) и оценить погрешность вычислений, где n – количество отрезков, на которые разбивается отрезок интегрирования.

Решение. Максимальные погрешности формул трапеций и Симпсона равны соответственно

где .

Для функции

имеем

Третья производная на отрезке [0,1] положительна, т.е. – возрастающая функция. Следовательно,| |достигаетнаибольшего значения на краях интервала, в данном случае

Погрешность формулы трапеций равна

Четвертая производная f равна

Экстремумы этой функции, т.е. нули функции

лежат вне интервала (0,1). Легко проверить, что M4 = f(4)(0) = 12. Отсюда

В соответствии с оценками погрешности находим, что в значении интеграла, вычисленным по методу трапеций третий знак после запятой является сомнительным, а по формуле Симпсона число правильных знаков после запятой не превышает пяти. Вычисление функций в узлах проводим с двумя запасными знаками (шесть знаков после запятой).

 

i            
xi   0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
fi   0.990050 0.960789 0.913931 0.852144 0.778801

 

i          
xi 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
fi 0.697676 0.612626 0.527292 0.444858 0.367879

 

Вычисление по формуле трапеций (6) с данными из таблицы дает значение интеграла I = 0.7462106, однако с учетом погрешности | R | < 0.002 значение интеграла следует положить равным I = 0.746.

Аналогичные вычисления по формуле Симпсона (8) дают значение интеграла I = 0.7468248. Поскольку погрешность в данном случае составляет | R | < 0.67×10 - 5, то интеграл равен I = 0.74682.

 

4. Выбор шага интегрирования по оценке остаточного члена.

В подобных задачах требуется определить шаг сетки, который обеспечивает требуемую точность e вычисления интеграла по выбранной квадратурной формуле. Шаг выбирается из условия равенства максимальной погрешности Rmax и заданной точности для данной формулы численного интегрирования

 

(10)

где остаточный член R определяется одним из условий (5), (7), (9) соответствующей квадратурной формулы. Тогда для формулы средних (прямоугольников), трапеций и Симпсона получаем следующие выражения Rmax, соответственно:

 

(11)

где .

 

Пример 2. Вычислить интеграл

по формуле трапеций с точностью e = 10 - 4, определяя шаг h по оценке остаточного члена.

Решение. Величину шага интегрирования определим из соотношения (10) с максимальной погрешностью RT, соответствующей формуле трапеций.

Для функции

имеем

Используя представления в виде отрезка ряда

можем записать

Экстремумы функции F(x) лежат за пределами . Так как (p/2) = - 0.121 и (p/4) = - 0.274,то M2 = 0.274.

В результате (b-a)/h = 10.5, и следовательно интервал интегрирования следует разбить на n = 11 отрезков.

Составляем таблицу значений функции в узлах с шагом h = p /44.

i            
xi
fi 0.900316 0.882063 0.862468 0.841592 0.819497 0.796248

 

i            
xi
fi 0.771916 0.746573 0.720293 0.693154 0.665236 0.636620

 

Вычисление по формуле (6) с данными из таблицы дает значение интеграла I = 0.611719. Поскольку заданная точность может приводить к погрешности в четвертом знаке результата, то в ответе следует удержать 4 знака I = 0.6117.

5. Процедура двойного пересчета (правило Рунге).

Оценка максимальной погрешности Rmax часто связана с выполнением громоздких вычислений, поэтому на практике используется процедура двойного пересчета. Величина интеграла I рассчитывается сначала с шагом h (n интервалов), затем на сетке с вдвое меньшим шагом h/2 (2n интервалов). Здесь роль погрешности метода вычислений играет величина

(12)

Более точные оценки погрешности дают формулы Рунге для выбранной квадратурной формулы:

(13)

для формулы средних и трапеций

(14)

для формулы Симпсона.

Если D не превосходит заданной погрешности e, т.е. D < e, то вычисления прекращают и полагают

.

Если точность не достигается, то процедуру уменьшения шага повторяют вновь.

Поскольку в данном случае априорная погрешность метода неизвестна, то невозможно использовать выражения (11). Однако, согласно этим соотношениям погрешность имеет вид для формулы средних и трапеций R = a h2, а для формулы Симпсона R = a h4, где a и b – константы. Следовательно, шаг определяется соотношением h = const , где k = 2 или k = 4 в зависимости от метода вычисления. На практике константу полагают равной единице, и в качестве начального шага выбирается величина для формул трапеций и средних, и для формулы Симпсона. Если точность вычисления интеграла невысока, то в качестве начальной сетки выбирают разбиение на 8 – 10 отрезков.

 

Пример 3. Используя процедуру двойного пересчета, вычислить по формуле Симпсона интеграл

с точностью e = 2×10 - 4.

Решение. Вначале отрезок интегрирования разбиваем на 8 частей и вычисляем интеграл при h = p/8. Значения аргументов и подынтегральной функции приведены в таблице:

 

i                  
xi     p
fi     0.284012   0.460075   0.612355   0.785398   1.020591   1.380226   1.988086   p

 

По формуле Симпсона вычисляем значение интеграла при h = p/8 (n=8):

I8 = 3.143317

Из этой же таблицы находим значение интеграла при h = p/4 (n=4):

I4 = 3.160861

По формуле (12) находим, что разность

| I8 –I4| = 0.016 > e = 2×10 - 4

Погрешность D, вычисленная по формуле Рунге (14), также превышает e. Поэтому вычисления следует выполнить с вдвое меньшим шагом h = p /16 (n=16). Результаты вычисления аргумента и функции сводим в следующую таблицу:

 

i                
xi  
fi     0.164296   0.284012   0.378671   0.460075   0.536043   0.612355   0.693889

 

                 
  p
  0.785398   0.892144   1.020591   1.179296   1.380226   1.640905   1.988086   2.464452   p

 

Значение интеграла, вычисленное по этой таблице равно

I16 = 3.141716

 

Разность | I16 –I8| = 0.0016. Согласно соотношению (14) погрешность

Следовательно, значение интеграла I = I16 =3.1417.

 

6. Интегрирование с помощью степенных рядов.

 

Пусть подынтегральная функция f(x) разлагается в степенной ряд

сходящийся в интервале – R £ x £ R, который содержит отрезок интегрирования [ a, b ]. Тогда интеграл можно почленно проинтегрировать

Если ряд сходится быстро, то его можно заменить частной суммой

В данном случае, погрешность складывается из погрешности округления членов суммы и погрешности обрезания ряда, равной остатку ряда.

Для знакопеременного ряда абсолютная величина остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена ряда. В других случаях используют мажорантные оценки известными рядами.

Пример 4. Вычислить интеграл

с точностью e = 10 - 4 путем разложения подынтегральной функции в ряд. Оценить количество слагаемых в приближенном выражении интеграла по формуле трапеций с той же точностью

Решение. Для функции имеем разложение

Интегрирование почленно дает

Поскольку ряд знакопеременный, то достаточно удержать столько членов, чтобы первый отброшенный был менее 10 - 4. Этому условию удовлетворяет третье слагаемое, поскольку

Следовательно, интеграл равен

Погрешность формулы трапеций определяется формулой (11). Максимум функции находим из условия экстремума

Решение уравнения

имеет единственное решение x=0 и оно соответствует максимуму . По формуле (11) находим

Следовательно, шаг , т.е. для достижения указанной точности по формуле трапеций следует взять около 30 слагаемых.

 

Задачи.

 

1. Определить погрешность формул прямоугольников (2) и (3).

2. Вычислить интегралы по формуле средних при n = 10, где n – количество отрезков, на которые разбивается отрезок интегрирования и оценить погрешность вычислений.

 

a) b)

c) d)

3. Вычислить интегралы по формуле трапеций (n = 10) и формуле Симпсона (n = 10) и оценить погрешность вычислений, где n – количество отрезков, на которые разбивается отрезок интегрирования.

a) b) c)

4. Вычислить интегралы по формуле трапеций с точностью e, определяя шаг h по оценке остаточного члена.

a) b) c)

5. Вычислить интегралы по формуле Симпсона с точностью e = 10 – 3 используя процедуру двойного пересчета.

a) , b) , c)

6. Вычислить интеграл с точностью e, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд.

a) b) c)

7. Вычислить по формуле трапеций интеграл

при четном и нечетном количестве узлов равномерной сетки.

8. Каким образом следует выбрать узлы сетки, чтобы интеграл

вычисленный по формуле Симпсона имел наименьшую погрешность.

9. Вычислить интеграл, заданный таблицей, и оценить погрешность:

 

i                  
xi   1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6
fi 0.5 0.5455 0.5833 0.6154 0.6429 0.6667 0.6875 0.7059 0.7222

 

 

Ответы и указания.

3a). I = 0.746, | R | < 0.002; I = 0.74682, | R | < 0.67 10 -5

3b). I = 0.311, | R | < 1.9 10 -3; I = 0.3103, | R | < 1.6 10 -5

3c). I = 0.903, | R | < 3.2 10 -3; I = 0.9045, | R | < 1.3 10 –5

4a). I = 0.78 4b). I = 0.88137 4c). I = 0.6118

5a). I = 0.364 5b). I = 0.531 5c). I = 2.353

6a). I = 1.60543 6b). I = 1.852 6c). I = 0.7468

7). I = 1, n = 2k; I = 1+1/n2, n = 2k +1

8). Учесть, что формула Симпсона является точной для кубических для многочленов


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 171 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Определённый интеграл.| ИНТЕГРАЛЬНАЯ ЙОГА 1 страница

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.031 сек.)