Метод прямоугольников. Рассмотрим сначала простейшие методы из класса методов Ньютона-Котеса

Рассмотрим сначала простейшие методы из класса методов Ньютона-Котеса, когда подынтегральную функцию f(x) на интервале интегрирования заменяем полиномом нулевой степени, т.е. константой. Подобная замена является неоднозначной, так как константу можно выбрать равной значению подынтегральной функции в любой точке в интервале интегрирования. Приближенное значение интеграла определится как площадь прямоугольника, одна из сторон которого есть длина отрезка интегрирования, а другая - аппроксимирующая константа. Отсюда происходит и название методов.

Рисунок 9.1 – Пояснения к расчету определенного интеграла методом прямоугольников.

Искомый интеграл будет равен соответственно для метода левых и правых прямоугольников

Методы левых и правых прямоугольников (рис. 9.1) имеют сравнительно высокую погрешность. Иногда применяют метод средних прямоугольников. Общая ошибка метода прямоугольников зависит от скорости изменения функции. Для быстро меняющихся функций ошибка будет больше, чем для медленно изменяющихся функций. Основной способ повышения точности вычислений – это уменьшение расстояния между отсчетами, уменьшение шага интегрирования.

Метод трапеций.

Очевидный способ повысить точность метода прямоугольников – заменить подынтегральную функцию на интервале [x_i-1, x_i] не константой, а участком прямой линии. При этом подынтегральная функция на каждом интервале расчетов заменяется трапецией, рис.9.2.

Рисунок 9.2 – Пояснения к расчету определенного интеграла методом трапеций.

Так как площадь элементарной трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту, то искомый интеграл будет равен

Пример 9.1. Демонстрация простейших методов интегрирования в программе MS Excel.

Рисунок 9.3 - Сравнительные графики интегралов косинуса, рассчитанных разными методами.

Дата добавления: 2015-10-29