Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Предельные теоремы и закон больших чисел

Читайте также:
  1. A) надо закончить ввод содержимого в ячейке, далее выделить ее и задать форматирование
  2. Bastard - ублюдок, байстрюк, незаконнорожденный. (довольно частое словцо).
  3. I. Недостаток нормативно-правовой база к закону о медицинском страховании граждан РФ.
  4. II закон термодинамики. Характеристические функции системы. Уравнение энергетического баланса системы, его анализ.
  5. II. Закончите фразу.
  6. II.1. ЗАКОН КАРМЫ
  7. II.2. ЗАКОН ПРИЧИНЫ

 

Свойство устойчивости массовых, случайных явлений известно человечеству еще с глубоких времен. В какой бы области оно не проявлялось, суть его сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказывается на среднем результате массы таких явлений. Именно эта устойчивость средних и представляет собой физическое содержание " закона больших чисел ",понимаемого в широком смысле слова: при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Различные формы закона больших чисел вместе с различными формами центральной предельной теоремы образуют совокупность так называемых предельных теорем теории вероятности.

Предельные теоремы дают возможность не только осуществить научные прогнозы в области случайных явлений, но и оценивать точность этих прогнозов.

Неравенство Чебышева

Имеется случайная величина (СВ) . Неравенство Чебышева утверждает, что каково бы ни было положительное число , вероятность того, что СВ отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на , ограничена сверху величиной , т.е.

. (1)

Неравенство Чебышева дает грубую оценку сверху и утверждает, что для любой случайной величины Х вероятность того, что она отклонится на от меньше, чем дисперсия деленная на .

Теорема Чебышева

Пусть имеется СВ . Над этой величиной производится независимых опытов и вычисляется среднее арифметическое всех наблюденных значений случайной величины Х. Необходимо найти характеристики среднего арифметического – математическое ожидание и дисперсию. В результате первого опыта СВ приняла значение , во втором опыте – ,..., в – ом опыте – .

Рассмотрим среднее арифметическое этих значений:

(2)

СВ линейная функция независимых случайных величин . Определим:

(3)

(4)

Т. о. не зависит от числа опытов , а дисперсия при больших может стать сколь угодно малой, т.е. СВ ведет себя почти не как случайная. Это свойство и устанавливает теорема Чебышева.

При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию.

Говорят что СВ сходится по вероятности к величине , если при увеличении вероятность того, что и будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом

(5)

где и – произвольно малые положительные числа. Запишем аналогично теорему Чебышева:

. (6)

Обобщенная теорема Чебышева

Пусть независимые случайные величины с соответствующими математическими ожиданиями и дисперсиями, т.е. И если все дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом таким, что

то при возрастании среднее арифметическое наблюденных значений величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

. (7)

Теорема Маркова

Если имеются зависимые СВ и, если при справедливо соотношение то среднее арифметическое наблюденных значений СВ сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Теорема Бернулли

Пусть производится независимых опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие , вероятность которого в каждом опыте равна . Теорема Бернулли утверждает, что:
при неограниченном увеличении числа опытов частота события сходится по вероятности к его вероятности .

Обозначим частоту события в опытах через тогда теорему Бернулли можно записать в виде формулы:

(8)

где и δ – сколько угодные малые положительные числа.

 

Упражнения:

1. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключённое в интервале (0, 1/3).

2. Случайная величина X задана на всей оси O x функцией распределения F(x) = 1/2 + (arctg x)/π. Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключённое в интервале (0, 1).

3. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X

Найти плотность распределения f(x).

4. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X

Найти плотность распределения f(x).

5. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключённое в интервале (-1, 1).

6. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение: а) меньшее 0,2; б) меньшее трёх; в) не меньшее трёх; г) не меньшее пяти.

7. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате четырёх независимых испытаний величина X ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).

8. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

X      
p 0,5 0,2 0,3

Найти функцию распределения F(x) и начертить её график.

9. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

X        
p 0,2 0,1 0,4 0,3

Найти функцию распределения F(x) и начертить её график.

10. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=(3/2)sin3 x в интервале (0; π/3); вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (π/6; π/4).

11. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(x).

12. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(x).

13. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(x).

14. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(x).

15. Случайная величина X задана на всей оси O x функцией распределения F(x)=1/2+(1/π)arctg(x /2). Найти возможное значение x 1, удовлетворяющее условию: с вероятностью 1/4 случайная величина X в результате испытания примет значение, большее x 1.

 

 


Дата добавления: 2015-10-28; просмотров: 145 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Алгебра событий | Вероятность события | Комбинаторика | Теоремы сложения и умножения вероятностей | Формула полной вероятности, формула Байеса | Повторение испытаний | Показательное распределение | Выборочный метод | Числовые характеристики выборки | Статистические оценки параметров распределения |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Дискретные случайные величины и их характеристики| Непрерывные случайные величины и их характеристики

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)