Производные высших порядков

Производные высших порядков. До сих пор мы рассматривали производную f¢ (x) от функции f (x), называемую производной первого порядка. Но производная f¢ (x) сама является функцией, которая также может иметь производную.

Производной n–го порядка называется производная от производной (n –1)–го порядка.

Обозначение производных: f¢¢ (x) – второго порядка (или вторая производная), f ^///(x) – третьего порядка (или третья производная).

Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры, например, f ⁽⁴⁾(x),..., f ^{( n )}(x) или и т. д.

Выясним механический смысл второй производной. Выше было установлено, что если точка движется прямолинейно по закону s=s(t) (где s – путь, t – время), то s^/(t) представляет скорость изменения пути в момент t ₀. Следовательно, вторая производная пути по времени s^//(t ₀ ) = [ s^/(t ₀ ) ] = v^/(t ₀ ) есть скорость изменения скорости или ускорение точки в момент t ₀.

Пример 21. Найти производные до n –го порядка включительно от функции y =l n x.

Решение: и т. д. Очевидно, что производная n –го порядка

Пример 22. Найти производные функций:

Решение: а) при дифференцировании следует учесть, что первое слагаемое представляет степенную функцию (y = ), ее аргумент – логарифмическую функцию плюс постоянную (u =lg х +1), а второе слагаемое – логарифмическую функцию (y = ln u, где u = +1):

б) данная функция представляет произведение двух функций и l n ² x, каждая из которых является сложной функцией (y =5 ^u, где u = x ³; y ₁= u ₁², где u ₁=l n x).

Поэтому

Дата добавления: 2015-07-07