Приложения двойного интеграла

1. Площадь поверхности

Пусть поверхность S задана явным уравнением

z = f (x; y), (1)

причём проекция поверхности S на плоскость XOY – квадрируемая область Р, а функция f (x; y) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка на Р. Тогда функция f (x; y) будет дифференцируемой на Р, а поверхность S в каждой точке M (x ₀; y ₀; z ₀) имеет касательную плоскость, уравнение которой

,

где x, y, z – текущие координаты касательной плоскости, а x ₀, y ₀, z ₀- координаты точки касания.

Задача. Найти площадь поверхности S.

Установим само понятие площади поверхности. Разобьём область Р на части . Построим на каждой из них, как на основании, цилиндрические столбики. Они разобьют поверхность на n частей: . В каждой части произвольно выберем точку , которой на частичной поверхности S_i будет соответствовать точка , где . Построим в точке касательную плоскость Т_i к поверхности S и нормаль к этой поверхности. Обозначим - острый угол между нормалью и осью Oz. Т.к. уравнение нормали к поверхности S в точке имеет вид

, то ,

следовательно, .

Каждый из цилиндрических столбиков вырежет на касательной плоскости Т_i фигуру, которую также обозначим Т_i. Если разбиение становится всё более мелким (l ®0), то плоские фигуры Т_i будут приближаться к соответствующим частям S_i: . Тогда сумма площадей всех Т_i: .

Под площадью данной поверхности S понимают предел последней суммы при

, - диаметр .

Покажем, что этот предел существует и выясним, чему он равен.

Угол равен углу между касательной плоскостью и плоскостью XOY. - ортогональная проекция частичной фигуры , следовательно, Þ . Тогда

.

Эта сумма является интегральной суммой для функции

.

Т.к - непрерывная функция, то она интегрируема, следовательно,

$ .

Тогда .

Пример. Вычислить площадь части параболоида , вырезанной цилиндром .

D Указанная поверхность симметрична относительно плоскостей XOZ и YOZ, т.е. состоит из четырёх одинаковых частей. Найдём площадь поверхности одной из них (например, лежащей в I октанте) и умножим на 4.

,

Р – область интегрирования: четверть круга с центром в т.(0,0) и радиусом 1 в плоскости XOY.

Из уравнения поверхности получаем: , .

.

Интеграл удобно вычислить в полярных координатах:

. D

2. Вычисление массы плоской фигуры

Пусть на плоской фигуре Р распределена масса m. Поверхностной плотностью массы в точке N фигуры Р называется предел

,

где D – произвольный участок фигуры Р содержащий точку N, его площадь также обозначим D, m (D) – его масса. Условие D ® N означает, что участок D стягивается к точке N, то есть наибольшее расстояние от точки N до точек участка D стремится к нулю.

Если плотность распределена равномерно по фигуре, то r (х; у)= const .

Задача. Вычислить массу плоской фигуры Р, по которой непрерывным образом распределена масса m с поверхностной плотностью r (х; у), при этом r (х; у)- непрерывная функция.

Разобьём фигуру сетью кривых на n произвольных частей: Р ₁, Р ₂,…, P_n, площади которых тоже обозначим Р ₁, Р ₂,…, P_n, а m ₁, m ₂,…, m_n - их массы. В каждой части P_i возьмем произвольно точку N_i (u_i; v_i) и вычислим в ней плотность r (u_i; v_i). Если разбиение достаточно мелко, то в силу непрерывности функция r (х; у) мало изменяется в области P_i. Следовательно, можно считать, что . Тогда .

Равенство тем точнее, чем мельче разбиение, и становится точным в пределе при где , l_i=diamP_i.

Так как r (х; у)-непрерывная функция, то предел справа существует и равен . Следовательно,

m = .

Дата добавления: 2015-07-07