Основи теорії теплопровідності

В загальному випадку тепло може передаватися за трьома механізмами: теплопровідністю, конвекцією, радіацією.

7.3.1 Закон теплопровідності Фурьє

Закон теплопровідності Фурьє встановлює зв’язок між кількістю теплоти, теплопровідністю і градієнтом температури

(7.9)

де dQ – кількість теплоти, що пройшла через переріз F

за час dt;

¶ T/ ¶ n – градієнт температури. Знак “ – “ вказує, що градієнт

направлений у бік, протилежний зменшенню темпера-

тури;

λ – коефіцієнт теплопровідності. Це тепловий потік, що

проходить через одиницю ізотермічної поверхні за

одиницю часу при градієнті температури по нормалі

до поверхні 1 ⁰С на 1 см, (кал × см ^-1 × град ^-1× с ^–1).

(7.10)

Кількість теплоти, що проходить через поверхню за одиницю часу, називається тепловим потоком Ф, кал×с ^-1.

(7.11)

Питомий тепловий потік, кал× с ^-1× см ^-2 (Вт× см ^-2)

7.3.2 Конвективний теплообмін

Конвективний теплообмін являє собою теплоту, віднесену з поверхні або надану поверхні твердого тіла потоком рідини або газу.

Питомий тепловий потік, віднесений з поверхні твердого тіла при конвективному теплообміні, визначається за формулою

(7.12)

де Т – температура тіла, ⁰С;

Т₀ – температура навколишнього середовища, ⁰С;

α_К – коефіцієнт конвективної тепловіддачі, (кал×см^-2×с^-1× ⁰С^-1).

Коефіцієнт конвективної тепловіддачі α_К залежить від:

1) фізичних властивостей рідини (газу): в’язкості, густини, теплопровідності;

2) фізичних властивостей поверхні твердого тіла;

3) стану поверхні твердого тіла та наявності оточуючих тіл;

4) величини різниці Т – Т₀.

7.3.3 Променистий теплообмін

При променистому теплообміну теплова енергія переноситься світловою (електромагнітною) хвилею, яка характеризується деякою частотою коливань. Променевий теплообмін підкоряється закону Стефана – Больцмана

(7.13)

де Т – температура тіла;

с – коефіцієнт пропорційності, характеризуючий стан

(7.14)

поверхні твердого тіла.

де с₀ = 1,378·10 ^{– 4} кал×см^-2×с^-1×К^-4 (для ідеально чорного тіла);

ξ – коефіцієнт сірості.

Для полірованих поверхонь ξ = 0,2 ÷ 0,4; для шорстких (сірих) ξ = 0,6 ÷ 0,9. Всі метали в розплавленому стані наближаються до абсолютно чорного тіла і характеризуються

ξ = 0,9 ÷ 0,95.

(7.15)

В реальних умовах тіло, що розглядається, оточене іншими тілами, які також будуть приймати участь у теплообміні. Питомий тепловий потік з поверхні при променистому теплообміні обчислюється за формулою

де α _п – приведений коефіцієнт радіації;

Т – температура тіла;

Т ₀ – температура оточуючого середовища.

(7.16)

При спільній дії конвективного та променистого теплообміну сумарний тепловий потік буде визначатися

де α ₀ – загальний коефіцієнт тепловіддачі.

7.3.4 Рівняння теплопровідності

Виведено на підставі закону теплопровідності Фурьє

(7.17)

де а – коефіцієнт температуропровідності, см²×с^-1 (характери-

зує процес вирівнювання температур в твердому тілі);

сρ – об’ємна теплоємність;

Ѳ Т – оператор Лапласа.

7.3.5 Крайові умови

Крайові умови визначають:

а) початкову величину температури в розглядаємій точці твердого тіла;

б) умови теплообміну на межі “тверде тіло – середовище”. Принципово розглядається три варіанти крайових умов:

1. Ізотермічна границя – коли температура поверхні твердого тіла в процесі нагріву залишається постійною (інтенсивне охолодження поверхні водою);

2. Адіабатична границя – границя, на якій відсутній теплообмін з навколишнім середовищем. Має місце, коли нагріваєме тіло відокремлене від навколишнього середовища теплоізоляційним матеріалом (наприклад, азбестовим листом);

(7.18)

3. Умова теплообміну твердого тіла з навколишнім середовищем заданої температури. Питомий тепловий потік на границі буде визначатися величиною

де Т_S – температура розглядаємої точки тіла;

α ₀ – загальний коефіцієнт тепловіддачі;

Т ₀ – температура оточуючого середовища.

7.3.6 Схеми джерел нагріву

Схеми джерел нагріву класифікують за слідуючими ознаками:

1. По зосереджуванності в просторі:

1.1. Точкове – розміри джерела нагріву незрівнянно малі по відношенню до розмірів тіла.

1.2. Лінійне – розглядається як сукупність точкових, розташованих по одній з вісей координат.

1.3.Плоске - розглядається як сукупність точкових, розташованих рівномірно по площині вісей координат.

1.4.Об’ємне - розглядається як сукупність точкових, рівномірно розподілених в об’ємі, співрозмірному з розмірами тіла.

2. За часом дії:

2.1. Миттєве.

2.2. Постійно діюче.

3. За швидкістю переміщення у просторі:

2.3. Нерухоме.

2.4. Рухоме.

2.5. Швидкорухоме.

Для конкретних умов рівняння теплопровідності розв’язується так:

1 Формулюються початкові умови (розрахункова схема тіла, що нагрівається, та джерела нагріву).

2 Формулюються граничні умови (крайові).

3 Розв’язується рівняння теплопровідності в загальному вигляді.

4 При необхідності виводяться часткові вирази рівняння теплопровідності.

7.3.6.1 Нескінченне тіло. Миттєве точкове джерело теплоти

Розрахункова схема.

z

У нескінчене тверде тіло в нескінченно малий об’єм dx·dy·dz в точку 0 вносимо короткочасно кількість теплоти Q,кал. Джерело теплоти вважається точковим, нерухомим, миттєвим.

Граничні умови: так як тіло нескінчене, вважається, що теплообмін між тілом та навколишнім середовищем відсутній (адіабатична границя), і вважають, що в момент внесення теплоти температура тіла дорівнювала нулю.

(7.19)

Для таких умов розв’язок рівняння теплопровідності для визначення температури в заданій точці А (x,y,z), що знаходиться на відстані R від точки внесення теплоти 0 в момент часу t, має вигляд

де t – інтервал часу з моменту внесення джерела, для якого

визначається температура.

Для розглянутої схеми нагріву ізотерми будуть являти собою сфери радіусом R = .

7.3.6.2 Нескінченне тіло. Лінійне джерело теплоти

Розрахункова схема.

В нескінченне тіло по деякій лінії L, яка співпадає з віссю z, внесена короткочасно деяка кількість теплоти Q, кал. Джерело теплоти нерухоме, лінійне, миттєве.

Граничні умови:

а) адіабатична границя;

б) температура тіла дорівнює нулю.

Температура в заданій точці А(x,y), що знаходиться на відстані R від лінії внесення теплоти, буде визначатися

(7.20)

де Q ₁ – кількість теплоти на одиницю довжини.

Ізотермами будують циліндричні поверхні радіуса R = .

7.3.6.3 Нескінченне тіло. Плоске джерело теплоти

Розрахункова схема.

В нескінчене тіло по де-якій площині, перпендикулярній вісі z внесено кількість теплоти Q. Джерело теплоти нерухоме, миттєве, плоске.

Граничні умови:

а) адіабатична границя;

б) початкова температура тіла дорівнює нулю.

(7.21)

Температура в заданій точці тіла в момент часу t визначається

де R = z – відстань від точки, що досліджується, до площини джерела теплоти;

Q₂ – інтенсивність джерела.

(7.22)

Q₂= ,

де F – площа поверхні плоского джерела теплоти.

Ізотермами будуть площини, паралельні поверхні, по якій розподілене плоске джерело теплоти.

7.3.6.4 Принцип накладання

Точкове, лінійне, плоске джерело теплоти – це ідеалізовані схеми джерел теплоти. Реальні джерела теплоти розглядаються як сукупність ідеалізованих і температура в точці твердого тіла, що розглядається, буде дорівнювати сумі температур від дії кожного з джерел.

Постійно діючі джерела теплоти можуть розглядатися як сукупність миттєвих, зміщених у часі.

При використанні принципу накладання допускається, що теплофізичні властивості твердого тіла незмінні при зміні його температури.

7.3.6.5 Нескінченне тіло. Об’ємне джерело теплоти

Розрахункова схема. Є нескінчене тіло, в яке по всьому об’єму внесено де-яку кількість теплоти Q. Уявимо нескінчене тіло як суму елементарних об’ємів dx·dy·dz, в кожний з яких було внесено кількість теплоти dQ. Виділимо такий один елементарний об’єм dx´·dy´·dz´, в який короткочасно було внесено кількість теплоти dQ. Виділений об’єм в точці А (x´,y´,z´) з кількістю теплоти dQ будемо вважати миттєвим, точковим джерелом теплоти.

0

Розглянемо точку А_х (x,y,z) по відношенню до виділеного джерела теплоти.

R' = , (7.23)

де R' - відстань між точками А і А_х.

,

(7.24)

Кількість теплоти, яка виділиться в точці А

де T₀(x ', y', z') – розподіл тепла в точці A в початковий момент

часу (t = 0).

Приріст температури в точці А_х від дії точкового

.

(7.25)

миттєвого джерела теплоти буде визначатися за формулою

Згідно до принципу накладання на точку А_х буде діяти не тільки виділений об’єм (джерело теплоти), але й всі інші елементарні джерела. Сумарна температура в точці А_х

(7.26)

(7.27)

7.3.6.6 Нескінчене тіло. Постійно діюче, зосереджене джерело теплоти

Розрахункова схема.

Нескінчене тіло, в якому діє неперервне, зосереджене джерело теплоти на протязі часу t. Час t представляється як сума елементарних відрізків часу dt. Через час дії джерела t' виділимо елементарний відрізок часу dt', на протязі якого в тіло було внесено елементарну кількість теплоти dQ = q(t')dt'.

(7.28)

q = q(t) – зміна теплової потужності розглядаємого джерела у часі. Виділена кількість теплоти dQ за час dt’ буде розглядатися як миттєве джерело теплоти. (t - t') - час впливу джерела. Тоді в точці А_х(x,y,z) приріст температури від розглядаємого елементарного джерела буде визначатися

Згідно принципу накладання сумарна температура в точці А

буде визначатися сумою приростів температур від усіх джерел, діючих за період часу (t – t')

(7.29)

7.3.7 Обмежене тіло

В багатьох випадках при дуговому зварюванні вплив границь на поширення теплоти в тілі може не враховуватись, але у ряді випадків таке спрощення недопустиме. Розглянемо два випадки, які дозволяють врахувати вплив границь при визначенні температурного поля від дії джерел теплоти.

7.3.7.1 Адіабатична границя

Маємо напівнескінченне тіло, тобто масивне тіло, обмежене площиною xOy, через яку відсутній теплообмін з навколишнім середовищем (адіабатична границя).

Припустимо, що в напівнескінченому тілі в точці P' (0,0,- ) діє миттєве джерело теплоти і T' (z) – зміна температури в просторі від дії джерела в точці P', допускаючи, що тіло нескінчене. В нескінченому тілі в точці P'' (0,0,z’) розташуємо фіктивне джерело теплоти такої ж потужності та таке, що змінюється за таким же законом, як і в точці P', тобто щоб на границі розділу по площині xOy різниця температури під дією реального і фіктивного джерел теплоти була рівною нулю. Таким чином від напівнескінченого тіла з одним джерелом теплоти в точці P' ми прийшли до нескінченого тіла, в якому буде діяти два джерела теплоти: в точці P' – реальне і в точці P'' – фіктивне. Температура

в точці А(x,y,z,t) буде визначатися сумою температур від дії двох

(7.30)

джерел теплоти

(7.31)

(7.32)  

(7.33)  

Т_Σ (z) – розподілення температури в напівнескінченому тілі від дії реального джерела теплоти. Представлені висновки фізично можна сформулювати так: площина xOy непроникна для теплоти від реального джерела (точка Р'), яка дійшовши до адіабатичної границі відбивається від неї і далі поширюється вглиб напівнескінченого тіла так, як поширювалась би теплота далі в нескінченному тілі. Температура в напівскінченому тілі дорівнює сумі температур від дії основного та теплового потоку, що відбивається.

7.3.7.2 Ізотермічна границя

Розрахункова схема: напівнескінченне тіло, всередині якого в точці Р' діє точкове, миттєве джерело теплоти. На границі з навколишнім середовищем температура стала – ізотермічна границя

(рисунок 7.9).

Визначимо температуру в точці А(x,y,z) через час t.

Доповнюючи напівнескінченне тіло до нескінченого, в доданій частині розташуємо точно таке ж джерело теплоти Р''.

T' (z) – зміна температури від джерела Р', якщо б тіло було нескінченим. Джерело теплоти розташоване в точці Р'' дає на границі температуру по величині, як і джерело розташоване в точці Р', але протилежну по знаку. Джерело теплоти в точці Р'' називають стоком теплоти. Точка Р'' – дзеркальне відображення точки Р'. Т_Σ (z) – результуюча температури від дії джерел Р' і Р''.

(7.34)

–

Згідно принципу накладання, температура в будь-якій точці А(x,y,z,t) буде визначатися

де R ' - відстань від джерела Р' до точки А;

R'' - відстань від джерела Р'' до точки А.

Дата добавления: 2015-07-08