Читайте также:
|
Изложенное приведение вещественной квадратичной формы к каноническому виду называется приведением методом ортогональных преобразований или иначе приведением квадратичной формы к главным осям.
Существуют и другие способы приведения квадратичной формы к каноническому виду, которые не требуют введения скалярного произведения и эрмитовости соответствующей матрицы, допускают даже комплексность квадратичной формы. При этом оказывается, что канонический вид квадратичной формы не единственен.
Но существуют и некоторые инварианты формы.
Закон инерции действительных квадратичных форм:
Число положительных и число отрицательных квадратов в каноническом виде, к которому приводится данная квадратичная форма с действительными коеффициентами, не зависит от способа ее приведения.
Приняты названия:
Число положительных коеффициентов перед квадратами – положительный индекс инерции.
Число отрицательных коеффициентов перед квадратами – отрицательный индекс инерции.
Число не равных нулю коеффициентов перед квадратами – просто индекс инерции, равный сумме положительного и отрицательного индексов инерции.
Пример 1. 
; 
. (10.4)
; 
.
.
Найденные собственные значения оператора подставим в систему уравнений, определитель которой был приравнен нулю в выражении (10.4), имеющую в данном случае вид:
а) ; 
, 
– любая постоянная.
.
Найдем длину вектора 
и пронормируем его:
.
.
б) ; 
, 
– любая постоянная.
.
.
.
Координаты этих векторов 
и 
служат элементами 1-го и 2-го столбцов матрицы 
оператора 
преобразования старого базиса в новый:
.
При этом по формуле (10.3) имеем ответ:
; 
.
Пример 2. 
.
;
(10.5)
; 
; 
; при этом форма имеет канонический вид: 
.
Найденные собственные значения оператора подставим в систему уравнений, определитель которой был приравнен нулю в выражении (10.5), имеющую в данном случае вид:
а) ; 
– любая постоянная, 
.
.
Найдем длину вектора и пронормируем его:
.
.
б) ; 
– любая постоянная, 
.
.
Найдем длину вектора 
и пронормируем его:
.
.
в) ; 
– любая постоянная, 
.
.
Найдем длину вектора 
и пронормируем его:
.
.
Координаты этих векторов , и 
служат элементами 1-го, 2-го и 3-го столбцов матрицы оператора преобразования старого базиса в новый:
.
При этом по формуле (10.3) имеем ответ:
; 
; 
.
Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 354 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Ортогональная матрица. Ортогональный оператор. | | | Августа Пожарский поручил разведчикам установить маршрут следования Ходкевича. Выяснив, что гетман идет к Москве от Вязьмы, он стал готовиться к отпору. |