Расчет теоретической нормальной кривой распределения

При расчете теоретических частот m_i^T за оценку математического ожидания µ и среднего квадратического отклонения σ нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик и S, т.е. полученные выше ; S= 0,169.

Теоретические частоты находятся по формуле:

m_i^T = n·p_i,

где n – объем выборки (число наблюдений),

p_i - вероятность попадания значения нормально распределённой случайной величины в i –й интервал.

Теоретические частоты находятся путём округления значения n·p_i, но так, чтобы сумма теоретических частот была равна сумме эмпирических, т.е. в нашем случае 100 (при необходимости округлять можно не по правилам).

Вероятность p_i определяется по формуле:

,

где - интегральная функция Лапласа –

находится по таб. 1 Математической статистики для

и

Напомним, что Ф(t) – функция нечётная, т.е. Ф(- t)=- Ф(t)

Т.к. мы строим теоретическую кривую нормального распределения, то возможными значениями X должна быть вся числовая ось. Поэтому крайние значения t_i нужно заменить на -∞ и +∞ и учесть, что Ф(+∞)=1, Ф(-∞)= - Ф(+∞) = - 1

Для вычисления вероятностей p_i и теоретических частот m_i^T составим таблицу 1.5

Таблица 1.5

Расчет теоретической нормальной кривой распределения

Интервалы	mi	t1i	t2i	Ф(t 1 i )	Ф(t 2 i )	pi	n·pi	mi^T
4,97 - 5,08 4,08 - 5,19 5,19 - 5,30 5,30 - 5,41 5,41 - 5,52 5,52 - 5,63 5,63 - 5,74 5,74 - 5,85		-∞ -2,28 -1,63 -0,98 -0,33 0,31 0,96 1,61	-2,28 -1,63 -0,98 -0,33 0,31 0,96 1,61 +∞	-1 -0,9774 -0,8969 -0,6729 -0,2586 0,2434 0,6629 0,8926	-0,9774 -0,8969 -0,6729 -0,2586 0,2434 0,6629 0,8926	0,0113 0,0403 0,1120 0,2072 0,2510 0,2098 0,1149 0,0537	1,13 4,03 11,2 20,72 25,10 20,98 11,49 5,37		0,09 0,36 1,00 1,91 2,27 1,91 1,09 0,45
		-	-	-	-	1,000	-		-

Построим на графике гистограммы (рис 1.1) теоретическую нормальную кривую f(x). Для этого из середины частных интервалов восстановим перпендикуляр высотой (таб. 1.5, последний столбец), где .

На рис 1.4 концы этих перпендикуляров отмечены точками.

Рис.1.4. Гистограмма относительных частот интервального ряда распределения и теоретическая кривая нормального распределения

Сравнение гистограммы и нормальной кривой наглядно показывает соответствие между теоретическим и эмпирическим распределениями.

В нашем примере видна согласованность этих кривых.

Дата добавления: 2015-07-08