Задача 2.2. Определить скорость звука в кристалле меди, используя модель Дебая для описания спектра акустических фононов.

Для изотропных кристаллов при описании спектра акустических фононов можно воспользоваться решением, полученным для одномерной цепочки одинаковых масс m, связанных упругими связями с ближайшими соседями.

Дисперсионное уравнение, связывающее частоту колебаний ω и волновой вектор k (рис. 2.1.а), имеет вид:

, (2.3)

где k = 2π/λ; λ – длина волны упругих смещений атома, a – постоянная решетки.

Область значений волнового вектора, для которой не возникает неоднозначности дисперсной кривой ω(k), называется зоной Бриллюэна.

Рис 2.1.а Рис 2.1.б

Для одномерной цепочки из атомов 2-х сортов с массами m и M (M>m) дисперсионное уравнение

(2.4)

имеет две ветви (рис. 2.1,б). Нижняя ветвь (минус перед корнем в (2.4)) соответствует акустическим колебаниям, верхняя ветвь (плюс перед корнем в (2.4)) - оптическим колебаниям.

Для цепочки из N атомов число допустимых значений волнового вектора kS в зоне Бриллюэна:

Полная сумма волн с различными kS, описывающая движение n -атома в составе цепочки:

. (2.5)

Каждая из бегущих волн по цепочке (2.5) предоставляет собой независимый осциллятор с частотой колебания ω S и амплитудой AS, независящей от амплитуды других волн. Ортогональные волны цепочки называются нормальными колебаниями.

Квант нормальных колебаний кристаллической решетки – фонон, квазичастица с энергией и квазиимпульсом (h – постоянная Планка, ).

В модели Дебая вместо сложной зависимости ω(k) (2.3), (2.4) принимается линейная аппроксимация (см. рис. 2.1.б)

ω = V зв k, (2.6)

что хорошо описывает зависимость ω(k) на низких (звуковых частотах).

Скорость звука V звв этом случае находится из соотношения (2.6) по известной максимальной частоте акустических фононов – частоте Дебая (ω max = ω D) и соответствующему максимальному значению волнового вектора , при этом

, .

Частоту Дебая ω D находят обычно по известной характеристической температуре Дебая из соотношения:

.

Окончательно для скорости звука (скорости акустических фонов по модели Дебая) получаем

. (2.7)

Используя соотношения (2.7) и данные для меди находим:

м/с

Задача 2.3. Определить число оптических фононов в кремнии при T = 300 К, энергию возбуждения оптических фононов считать равной энергии Дебая ().

Среднее число фононов с энергией определяется распределением Планка:

,

где – постоянная Больцмана, T – температура кристаллической решетки.

При (случай высоких температур)

.

Для нашего случая среднее число фононов с энергией

При TD > T имеем , т.е. оптические фононы в Si при 300 K не возбуждаются.

Задача 2.4. Найти векторы обратной решетки для ромбоэдрического кристалла кальция, если a = 5.36 Å, α = 46°.

Для описания свойств волнового вектора служит обратное пространство (или пространство волнового вектора). Связь обратного пространства (обратной решетки) с конфигурационным пространством (прямой решеткой) осуществляется соотношениями

(2.8)

где – базисные вектора обратной решетки, – базисные вектора прямой решетки, V – объем элементарной ячейки.

В ромбоэдрической ячейке a = b = c, α = β = γ. Следовательно, согласно (2.8), a* = b* = c*, α* = β* = γ* (углы между базисными векторами обратной решетки).

Объем элементарной ячейки

(Å)3,

(Å)–1,

Дата добавления: 2015-07-08