Кинематика вращательного движения

Рассмотрим вращение. Как известно, обычные предметы не вращаются просто так: они колеблются, вибри­руют, изгибаются. Поэтому, чтобы упростить рассуждения, рассмотрим движение несуществующего идеального объекта, который назовем твердым телом. В таком объекте связи между атомами столь сильны, что те небольшие силы, кото­рые необходимы, чтоб привести его в движение, не могут деформировать тело. Форма его все время остается одной и той же. Если мы хотим изучить движение такого тела и условимся не принимать во внимание движение его центра масс, то ему остается лишь вращаться. Вот это вращение необходимо описать. Предположим, что в теле существует какая-то воображаемая неподвижная линия, вокруг этой линии, как вокруг оси, вращается тело. Отметив какую-то точку на теле, где угодно, только не на оси, и зная, куда она перешла через некоторый промежуток времени, мы точно можем сказать, в каком положении находится тело. Единственное, что нужно знать для описания положения точки, - это угол. Таким образом, изучение вращения заключается в изучении изме­нения угла со временем. Чтобы описать вращение, измерим угол, на который поворачиваетея тело. Речь идет не об угле между двумя точками внутри самого тела или на теле, а об угловом изменении положения всего тела как целого от одного момента времени до другого.

Изменение угла со временем очень похоже на изменение положения при одномерном движении; для плоского вращения можем говорить об угловом положении и угловой скорости. Между двумя этими движениями - плоским вращением и одномерным перемещением - существует связь: почти каждая величина в одном случае имеет свой аналог в другом. Угол q, указывающий на сколько повернулось тело, соответствует пройденному точкой расстоянию s. Угловая скорость w = d q/ dt, которая показывает, с какой быстротой изменяется угол, соответствует обычной скорости v = ds / dt, описывающей быстроту изменения положения. Если угол измеряется в радианах, то угловая скорость w равна какому-то числу радиан в секунду. Если продифференцировать угловую скорость по времени, то получим величину b = d w/ dt, которую будем называть угловым ускорением. Оно может служить аналогом обычного ускорения.

Установим связь динамики вращения с динамикой частиц, из которых сделано тело, т.е. выясним, как движется каждая частица при заданной угловой скорости.

Возьмем частицу на расстоянии r от оси и предположим, что в данный момент времени она находится в положении Р (х, у) (рисунок). Через промежуток времени D t тело целиком повернется на угол Dq, а вместе с ним повернется и частица. Расстояние от нее до оси вращения при этом не изменится. Она займет положение Q. Отрезок РQ = r Dq (по определению угла в радианах). При этом изменение координат частицы составит:

Соответственно, компоненты скорости частицы равны:

v_x = -w y; v_y = w x

Абсолютная величина скорости , что очевидно из того, что РQ = r Dq.

Дата добавления: 2015-07-07