Перенос теплоты теплопроводностью

Температурное поле. Процесс теплопроводности неразрывно связан с распределением температуры внутри среды (тела). Поэтому при его изучении прежде всего необходимо установить понятие температурного поля и градиента температур.

Температурное поле – это совокупность значений температур в данный момент времени для всех точек рассматриваемой среды. В общем случае температура t в данной точке является функцией координат x, y, z и времени :

. (8)

Уравнение (8) является уравнением неустановившегося (нестационарного) температурного поля, т. е. зависящего от времени. Такое поле отвечает неустановившемуся тепловому режиму теплопроводности.

В частном случае температура является функцией только системы координат и не зависит от времени:

. (9)

Такое температурное поле будет установившимся (стационарным).

Градиент температур. Если рассечь тело плоскостью и соединить точки, лежащие в этой плоскости и имеющие одинаковую температуру, то получим линии постоянных температур, называемые изотермами (рис. 1).

В пространстве геометрическое место точек с одинаковыми температурами представляет собой изотермическую поверхность. Так как в одной и той же точке пространства одновременно не может быть двух различных температур, то изотермические поверхности друг с другом никогда не пересекаются. Все они или замыкаются на себя, или кончаются на границах тела. Таким образом, изучение температуры в теле имеет место только в направлениях, пересекающих изотермические поверхности (на рис. 1 это направление x). Наиболее резкое изменение температуры получается в направлении нормали n к изотермической поверхности. Предел отношения изменения температуры к расстоянию между изотермами по нормали называется градиентом температур и обозначается одним из следующих символов:

grad t. (10)

Градиент температуры есть вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный частной производной от температуры по этому направлению. За положительное направление градиента принимается направление возрастания температур.

Основной закон теплопроводности. Связь между потоком dQ, проходящим через элементарную площадку dF, расположенную на изотермической поверхности, за промежуток времени , и градиентом температуры устанавливается законом Фурье, согласно которому

, (11)

, (12)

где q – плотность теплового потока или количество теплоты, передаваемое через единицу поверхности в единицу времени.

Знак минус в правой части уравнений (11) и (12) показывает, что теплота перемещается в сторону убывания температуры.

Уравнение (11) носит название основного уравнения теплопроводности, или закона Фурье.

Коэффициент пропорциональности λ называется коэффициентом теплопроводности. Его единица измерения:

.

Из единицы измерения очевиден физический смысл коэффициента теплопроводности: λ показывает, какое количество теплоты проходит вследствие теплопроводности в единицу времени через единицу площади поверхности теплообмена при падении температуры на один градус на единицу длины нормали к изотермической поверхности. Иными словами, коэффициент теплопроводности является физической характеристикой вещества, определяющей способность тела проводить теплоту. В общем случае λ зависит от природы вещества, его структуры, плотности, влажности, давления и температуры.

Дифференциальные уравнения теплопроводности. Изучение любого физического процесса связано с установлением зависимости между величинами, характеризующими данный процесс. Для сложных процессов, к которым относится передача теплоты теплопроводностью, при установлении зависимости между величинами удобно воспользоваться методами математической физики, которая рассматривает протекание не во всем изучаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого промежутка времени. Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавливается дифференциальным уравнением теплопроводности. В пределах выбранного элементарного объема и бесконечно малого промежутка времени становится возможным пренебречь изменением некоторых величин, характеризующих данный процесс.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности принимаются следующие допущения: внутренние источники теплоты отсутствуют; тело однородно и изотропно.

Выделим в теле элементарный параллелепипед объемом с ребрами dx, dy, dz (рис. 2). Физические свойства тела – плотность , теплоемкость с и теплопроводность – одинаковы во всех точках тела параллелепипеда и не изменяются во времени. Температура на левой грани dx dy равна t, на противоположной грани .

Количество теплоты, входящее в параллелепипед через его грани за промежуток времени ,

по оси через грань

,

по оси через грань

,

по оси через грань

.

Количество теплоты, выходящее из параллелепипеда через противоположные грани за тот же промежуток времени,

по оси

,

по оси

,

по оси

.

Количество теплоты, входящее через соответствующую грань параллелепипеда, не равно количеству теплоты, выходящему через противоположную грань, т. к. часть теплоты расходуется на повышение температуры в объеме параллелепипеда.

Разность между количествами пошедшей на параллелепипед и вышедшей из него теплоты за промежуток времени составит:

по оси

,

по оси

,

по оси

.

Полное превращение теплоты в параллелепипеде за промежуток времени :

,

или, учитывая, что , получим

.

Выражение, стоящее в скобках, представляет собой оператор Лапласа (знак читается «набла»). Следовательно,

. (13)

Согласно закону сохранения энергии приращение количества теплоты в параллелепипеде равно количеству теплоты, расходуемому на изменение энтальпии параллелепипеда, которое составляет

, (14)

причем представляет собой изменение температуры параллелепипеда за промежуток времени . Приравниваем выражения (12) и (14):

.

Обозначив и произведя сокращения, получим окончательно

. (15)

Уравнение (15) определяет распределение температур в любой точке тела, через которое теплота передается теплопроводностью, и называется дифференциальным уравнением теплопроводности в неподвижной среде, или уравнением Фурье.

Коэффициент пропорциональности в уравнении (15) называется коэффициентом температуропроводности. Он характеризует теплоинерционные свойства тела: при прочих равных условиях быстрее нагреется или охладится то тело, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности, и, следовательно, характеризует скорость изменения температуры в нестандартных тепловых процессах.

Коэффициент температуропроводности имеет следующую единицу измерения:

В случае установившегося процесса передачи теплоты теплопроводностью , т. е. температура не изменяется со временем. Тогда уравнение (15) примет вид

(16)

Однако величина а не может быть равна нулю и, следовательно,

или (17)

Уравнение (17) является дифференциальным уравнением теплопроводности в неподвижной среде при установившемся тепловом режиме.

Уравнения (15) и (17) описывают распределение температур в случае передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде и не учитывают, в частности, геометрические формы тела, через которое проводится теплота.

Теплопроводность через плоскую стенку. Рассмотрим наиболее распространенный случай – теплопроводность через плоскую однослойную стенку, длина и ширина которой бесконечно велики по сравнению с ее толщиной δ (рис. 3).

Стенка имеет во всех своих частях одинаковую толщину, температуры поверхностей t и t поддерживаются постоянными, т. е. являются изометрическими, причем t > t . При установившемся процессе количества теплоты, подведенного к стенке и отведенного от нее, равны между собой и не изменяются во времени.

Температура меняется только в направлении, перпендикулярном к плоскости стенки, которое принимаем за ось x. В такой постановке температурное поле одномерное ( t ∕ y = 0, t ∕ z = 0).

Коэффициент λ постоянен для всей стенки. При установившемся (стационарном) тепловом режиме температура в любой точке тела неизменна и не зависит от времени.

При принятых условиях в уравнении (17) первые и вторые производные от t по y и z равны нулю:

; ,

поэтому уравнение теплопроводности можно записать в виде

. (18)

Интегрирование уравнения (18) приводит к функции

, (19)

где C ₁ и C ₂ – константы интегрирования.

При постоянном коэффициенте теплопроводности λ это уравнение прямой линии. Таким образом, закон изменения температуры при прохождении теплоты через плоскую стенку будет линейным.

Константы интегрирования определяют исходя из следующих граничных условий:

при x = 0 величина t = t и из уравнения (19) ,

при x = δ величина t = t и уравнение (13.19) принимает вид , или , откуда .

Подставив значения констант C и C в уравнение (19), находим

.

Тогда

.

Подставив полученное выражение температурного градиента в уравнение теплопроводности (11), определим количество переданной теплоты:

или , (20)

где λ – коэффициент теплопроводности материала стенки, Вт∕(м×К); δ – толщина стенки, м; (t – t ) – разность температур поверхностей стенки, К; F – площадь поверхности стенки, м ; – время, с.

Для непрерывного процесса передачи теплоты теплопроводностью при = 1 уравнение (20) принимает вид

или . (21)

Уравнения (20) – (22) являются уравнениями теплопроводности плоской стенки при установившемся тепловом режиме.

Стенки теплообменной аппаратуры часто состоят из нескольких слоев (например, теплоизолированный аппарат). Слои отличаются друг от друга теплопроводностью и толщиной (рис. 4).

По аналогии с уравнениями (20) – (21) можно сразу написать расчетные формулы для n -слойной стенки:

или , (22)

где i – порядковый номер слоя стенки; n – число слоев.

Теплопроводность через цилиндрическую стенку. Рассмотрим передачу теплоты теплопроводностью через цилиндрическую стенку (трубу) длиной L, с внутренним радиусом и наружным (рис. 5). Коэффициент теплопроводности материала λ постоянен. Внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при постоянных температурах t и t , т. е. процесс теплообмена установившийся. Уравнение (20) в данном случае неприменимо, поскольку эти поверхности не равны друг другу. Пусть t > t и температура изменяется только в радиальном направлении. Следовательно, температурное поле здесь будет однородным, а изотермические поверхности – цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось.

Для цилиндрической стенки поверхность ее в некотором сочетании, отвечающем ее текущему радиусу r, составляет F = 2 rL, подставив значение F в уравнение Фурье (12) находим:

. (24)

В данном случае и вместо можно подставить dr. Тогда

.

Или, разделяя переменные,

.

Интегрируем это уравнение в пределах от до соответственно – от до

.

Откуда

.

Или, учитывая, что / = d _н/ d _в, получим

, (25)

где d _н/ d _в – отношение наружного диаметра цилиндрической стенки к ее внутреннему диаметру.

Уравнение (25) показывает, что по толщине цилиндрической стенки температуры изменяются по криволинейному (логарифмическому) закону. Это уравнение представляет собой уравнение теплопроводности цилиндрической стенки при установившемся процессе теплообмена.

По аналогии с выводом, приведенным для однослойной стенки, для цилиндрической стенки, состоящей из n слоев, количество теплоты, передаваемое путем теплопроводности, составляет:

,

где i – порядковый номер слоя стенки.

перенос теплоты конвекцией (конвективный теплообмен)

Конвекция состоит в том, что перенос теплоты осуществляется перемещающимися в пространстве объемами жидкости (газа). Перенос теплоты конвекцией тем интенсивнее, чем более турбулентно движется вся масса среды. Конвективный теплоперенос имеет высокое значение в пищевой технологии, поскольку от того, как осуществляется подвод или отвод теплоты, зачастую зависит эффективность проведения технологических процессов (например, нагревание, охлаждение, сушка и др.). В реальных условиях передача теплоты конвекцией всегда связана с теплопроводностью. Совместный процесс конвекции и теплопроводности называется конвективным теплообменом (конвективной теплоотдачей).

Различают теплоотдачу, также как и конвекцию, естественную (свободную), обусловленную разностью плотностей в различных точках объема среды из-за разности температур в этих точках, и вынужденную (движение жидкости происходит вследствие затраты на этот процесс энергии извне – с помощью насоса, мешалки и т. п.).

Механизм переноса теплоты в ядре потока при турбулентном движении среды характеризуется интенсивным перемешиванием за счет турбулентных пульсаций, которое приводит к выравниванию температур в ядре до некоторого среднего значения t _ж. Соответственно перенос теплоты в ядре определяется прежде всего характером движения теплоносителя, а также зависит от его тепловых свойств. По мере приближения к стенке интенсивность теплоотдачи снижается вследствие образования вблизи стенки теплового пограничного слоя, толщина которого обычно не совпадает с толщиной гидродинамического пограничного слоя.

Если за пределами внешней границы теплового пограничного слоя преобладающее влияние на теплообмен оказывает турбулентный перенос, то в самом слое, по мере приближения к стенке, все большее значение приобретает теплопроводность, а в непосредственной близости от стенки (в весьма тонком тепловом подслое) перенос теплоты по нормали и стенке осуществляется только теплопроводностью.

Тепловым пограничным подслоем считается пристенный слой, в котором влияние турбулентных пульсаций на перенос теплоты становится пренебрежимо малым. Подобно тому, как при возрастании вязкости жидкости увеличивается толщина гидродинамического пограничного подслоя, возрастание теплопроводности приводит к утолщению теплового пограничного подслоя, в котором интенсивность переноса теплоты определяется коэффициентом температуропроводности а (м²/с).

Теплопроводность и конвекция – разные физические процессы. Теплопроводность – явление молекулярное, конвекция – явление макроскопическое, при котором в переносе теплоты участвуют целые слои теплоносителя с разными температурами. Очевидно, что конвекцией теплота переносится более интенсивнее, чем теплопроводностью. Развитие турбулентности способствует ускорению конвективного переноса теплоты. Например, нагревание или охлаждение жидкости через стенку аппарата, оснащенного мешалкой, происходит быстрее, чем без перемешивания жидкости.

Величины а и а _m являются аналогами известных из гидродинамики величин кинематической вязкости υ и турбулентной вязкости υ _m. Численные значения а _m и υ _m, а также а и υ в общем случае не совпадают, что и обусловливает различие толщины теплового и гидродинамического пограничных слоев (δ _тепл ≠ δ _гидр, рис. 6). Эти слои совпадают по толщине только при v = a. Поскольку отношение v/a представляет собой критерий Прандтля (Pr = v/a), то, очевидно, толщина теплового и гидродинамического слоев одинакова только при Pr = 1. Следовательно, при Pr = 1 соблюдается подобие поля температур и поля скоростей, а критерий Прандтля является параметром, характеризующим подобие этих полей.

Интенсификация конвективного теплообмена достигается уменьшением толщины теплового пограничного слоя. Толщина становится минимальной с развитием турбулентности потока. При этом в общем процессе переноса теплоты составляющая теплопроводности становится пренебрежимо малой по сравнению с конвекцией.

Принято расчет скорости процесса теплоотдачи выполнять с помощью закона Ньютона или уравнения теплоотдачи:

, (27)

Согласно этому уравнению, количество теплоты dQ, отдаваемое за время dτ поверхностью стенки dF, имеющей температуру t _ст, жидкости с температурой t _ж, прямо пропорционально и разности температур (t _ст – t _ж).

Применительно к площади поверхности теплообмена всего аппарата F для непрерывного процесса теплоотдачи уравнение (27) принимает вид

, (28)

В этих уравнениях α – коэффициент пропорциональности или коэффициент теплоотдачи.

Его единица измерения

.

Следовательно, коэффициент теплоотдачи показывает, какое количество теплоты передается от 1 м² площади поверхности стенки к жидкости (или от жидкости к 1 м² площади поверхности стенки) в единицу времени при разности температур между стенкой и жидкостью 1 град.

В отличие от коэффициента теплопередачи К коэффициент теплоотдачи α характеризует скорость переноса теплоты в теплоносителе. Коэффициент теплоотдачи зависит от многих факторов: режима движения и физических свойств теплоносителя (плотности, вязкости); тепловых свойств жидкости (теплоемкости, теплопроводности и коэффициента объемного расширения); геометрических параметров каналов (диаметра и длины); состояния поверхности стенок, омываемых теплоносителями (шероховатая, полированная и т. п.). Таким образом, коэффициент теплоотдачи является функцией многих переменных. Из этого можно заключить, что простота уравнения теплоотдачи (21) только кажущаяся. При его использовании определение коэффициента теплоотдачи сопряжено с большими трудностями. С помощь теории подобия можно получить обобщенные (критериальные) уравнения для типовых случаев теплоотдачи. Они позволяют рассчитать коэффициент α для конкретных условий процесса. Исходной зависимостью для обобщения опытных данных по теплоотдаче является общий закон распределения температур в жидкости, выражаемый дифференциальным уравнением конвективного теплообмена.

Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена. Выделим в установившемся потоке жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy и dz (см. рис. 2). Считаем, что плотность ρ жидкости, ее коэффициент теплопроводности λ и удельная теплоемкость с_р постоянны. Температура t жидкости изменяется вдоль граней параллелепипеда. Проекции скоростей движения w жидкости на оси координат x, y и z составляют w_x, w_y и w_z.

Рассмотрим уравнение теплового баланса параллелепипеда, принимая, что вся подведенная к нему теплота затрачивается только на изменение энтальпии параллелепипеда. Теплота переносится в жидкости путем конвекции и теплопроводности. В направлении оси х, т. е. через грань dy dz, за время dτ в параллелепипед поступает путем конвекции количество теплоты

.

Количество теплоты, удаляющееся путем конвекции за то же время через противоположную грань параллелепипеда,

.

Разность между количеством поступающей в параллелепипед и удаляющейся из него теплоты за время dτ в направлении оси х составляет:

.

По аналогии в направлении осей у и z

Общее количество теплоты, подведенное конвекцией в параллелепипед за время dτ,

В соответствии с дифференциальным уравнением неразрывности потока при ρ = const, выражение, стоящее в квадратных скобках, равно нулю (div w = 0), а произведение dx dy dz = dV – объему параллелепипеда. Тогда конвективная составляющая теплового потока имеет вид

Количество теплоты, вносимой в параллелепипед за время dτ путем теплопроводности, составляет

Суммарное количество теплоты, подводимое конвекцией и теплопроводностью,

Это количество теплоты равно соответствующему изменению энтальпии параллелепипеда:

Таким образом,

.

После сокращения подобных членов и некоторых преобразований получим

, (29)

где – коэффициент температуропроводности.

Уравнение (29) можно записать в виде

. (30)

Уравнение (29) представляет собой дифференциальное уравнение конвективного теплообмена, которое называется также уравнением Фурье-Кирхгофа. Оно выражает в общем виде распределение температур в движущейся жидкости.

Для твердых тел , и уравнение (29) превращается в дифференциальное уравнение теплопроводности (15).

При установившемся процессе теплообмена в уравнении (29) член – обращается в нуль.

Подобие процессов теплоотдачи. C целью практического использования уравнения Фурье-Кирхгофа (29) проводят его подобное преобразование, т. е. записывают в виде функции от критериев подобия.

Остановимся вначале на подобии граничных условий. При турбулентном режиме жидкости теплота отдается пограничному слою в направлении, перпендикулярном направлению движения потока, тогда по закону Фурье (уравнение 11) количество теплоты, проходящее через пограничный слой толщиной , через площадь сечения dF за время , составляет

. (31)

Количество теплоты, проходящее от стенки в турбулентное ядро потока определяется по уравнению теплоотдачи (13.27)

.

При стационарном режиме теплообмена количество теплоты, проходящее через пограничный слой равно количеству теплоты, проходящему через ядро. Поэтому приравниваем оба уравнения и сокращаем подобные члены уравнений. В результате получим

. (32)

Подобное преобразование уравнения (32) произведем простым способом: отбрасывая знаки математических операторов, делим его правую часть на левую. При этом вместо величины δ запишем определяющий геометрический размер l. Тогда находим безразмерный комплекс величин – критерий подобия

, (33)

который известен как критерий Нуссельта. Он характеризует отношение суммарного переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью (то есть теплоотдачей) к теплоте, передаваемой теплопроводностью (l – определяющий геометрический размер: например, для потоков, движущихся в трубе, – это диаметр трубы).

При рассмотрении условия подобия в ядре потока используем подобное преобразование уравнения (29). Для этого в левой части уравнения Фурье-Кирхгофа сумму членов, характеризующих влияние скорости потока на процесс теплообмена, заменим величиной

,

а правую часть, характеризующую перенос теплоты путем теплопроводности, величиной

.

Заменим члены , отражающие неустановившийся режим теплообмена, отношением .

Поделим выражение на , получим соотношение между конвективным переносом теплоты и теплопроводностью:

, или .

Критерий Фурье (Fо), являющийся аналогом критериягомохронности Но, при гидродинамическом подобии характеризует условия подобия неустановившихся процессов теплообмена.

Разделив выражение на , получим

или (13.34)

Критерий Пекле (Рe) характеризует соотношение между интенсивностью переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью в движущемся потоке при конвективном теплообмене.

Необходимым условием подобия процессов переноса теплоты является соблюдение гидродинамического и геометрического подобия. Первое характеризуется равенством критериев гомохронности Но, Рейнольдса Re и Фруда Fr в сходственных точках подобных потоков, а второе – постоянством отношений основных геометрических размеров стенки L ₁, L ₂…, L _n к некоторому характерному размеру.

Для труб характерным размером обычно является их диаметр (L ₀ = d). В качестве L ₀ могут быть приняты также длина трубы, радиус кривизны изогнутой трубы и т. д.

Необходимым условием подобия процессов переноса теплоты является соблюдение гидродинамического и геометрического подобия, т. е.

. (35)

Критерий Эйлера в уравнении (35) не вошел, так как .

Таким образом, критериальное уравнение теплоотдачи принимает вид

. (36)

С учетом того, что критерий Нуссельта является определяемым, поскольку в него входит искомая величина коэффициента теплоотдачи α

. (37)

Критерий Пекле может быть представлен как произведение двух безразмерных комплексов:

,

.

Безразмерный комплекс называется критерием Прандтля. Он целиком составлен из величин, выражающих физические свойства жидкости, и характеризует подобие физических свойств теплоносителей в процессах конвективного теплообмена. Критерий Pr является мерой подобия полей температур и скоростей.

Для капельных жидкостей значение Pr с увеличением температуры уменьшается. Для газов Pr равно единице, для жидкостей Pr = 10…100. Поэтому для жидкостей тепловой подслой меньше гидродинамического.

С введением критерия Pr обобщенное уравнение конвективного теплообмена принимает вид

. (39)

Для установившегося процесса теплообмена критериальное уравнение теплоотдачи запишем в виде

. (40)

При вынужденном теплообмене, когда влиянием силы тяжести можно пренебречь (например, при движении жидкости по трубам), критерий Фруда из уравнения (39) может быть исключен. Тогда

или , (41)

где величины C, m, n определяют из опыта.

Уравнение (41) записано в степенной форме. При движении потока в трубе диаметром d и длиной l уравнение (41) может быть представлено в виде

(42)

При теплоотдаче в условиях естественной конвекции в число определяющих критериев должен войти критерий Фруда, отражающий действие сил тяжести в подобных потоках (Fr = w ²/ gl). Однако ввиду трудности определения скорости при естественной конвекции критерий Фруда целесообразно заменить для данных условий производным критерием Архимеда

(43)

где – разность плотностей холодных и нагретых элементов жидкости. Здесь критерий Галилея

(44)

Дата добавления: 2015-07-10