Считать верхней границей относительной погрешности, то

- относительная точность ЭВМ (машинная точность, машинный эпсилон, машинный нуль).

Значение этой величины определяется разрядностью мантиссы и способом округления.

На основании имеющихся сведений о представлении чисел в ЭВМ можно сделать ряд важных выводов.

1. Диапазон изменения чисел в ЭВМ ограничен.

2. Все числа , такие, что не представимы на ЭВМ и рассматриваются как машинная бесконечность. Попытка получить такое число приведёт к аварийному останову ЭВМ по переполнению.

3. Все числа , такие, что для ЭВМ неразличимы и представляются как нуль (машинный нуль). Получение числа называется исчезновением порядка (антипереполнением). При исчезновении порядка автоматически полагается и вычисления продолжаются.

Замечание: – машинная точность; – минимальное положительное число, представимое на ЭВМ. Это совершенно разные числа, причём .

4.

На машинной числовой оси числа располагаются неравномерно. Плотность их возрастает по мере приближения к нулю.

Плотность расположения чисел на «машинной» числовой оси

Вычисление машинного нуля. Для приближённого вычисления машинного эпсилон удобно пользоваться следующим определением.

Определение: Машинное эпсилон – минимальное из представимых на ЭВМ чисел , для которых , где - машинная арифметическая операция сложения.

Величину можно оценить во время вычислительного процесса. Для этого достаточно включить в программу фрагмент, реализующий следующий метод.

Полагая , следует вычислять последовательно

,

проверяя каждый раз выполнение неравенства . Как только при некотором окажется, что , следует положить .

Замечание: Полученное таким способом значение, может отличаться от в 2 раза. Обычно оно используется так, что эта погрешность не имеет значения.

Ниже приведены примеры процедур, реализующих вычисление «машинного нуля».

......

Приложение во время выполнения

Листинг 5.3.а

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

type

RealType=real;

var

Epsilon:RealType;

i:integer;

begin

i:=1;

Epsilon:=1;

while (1+Epsilon/2)>1 do

begin

Epsilon:=Epsilon/2;

ShowMessage(IntToStr(i)+'-я итерация'+

FloatToStr(Epsilon));

i:=i+1;

end;

Label1.Caption:=FloatToStr(Epsilon)+#13+'число итераций'+

IntToStr(i);

end;

Арифметический сопроцессор всегда обрабатывает числа в формате Extended, а три других вещественных типа в этом случае получаются простым усечением результатов до нужных размеров и применяются в основном для экономии памяти.

Например, если «машинное эпсилон» вычисляется с помощью программы, показанной в Листинге 5.3.а, то независимо от объявления типа RealType (он может быть Single, Real, Double или Extended) на печать будет выдан результат

Е-19,

что соответствует типу Extended. Происходит это по той причине, что все операнды вещественного выражения 1+Epsilon/2 в операторе while перед вычислением автоматически преобразуются к типу Extended.

Чтобы получить правильный результат, программу необходимо изменить следующим образом:

Листинг 5.3.б

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var

eps,eps1:real;

i:integer;

begin

i:=1; eps:=1;

repeat

eps:=eps/2;

eps1:=1+eps;

ShowMessage(IntToStr(i)+'-я итерация

'+#13+'eps='+FloatToStr(eps));

i:=i+1;

until eps1=1;

Label1.Caption:= FloatToStr(2*eps)+#13+'число итераций'+

IntToStr(i);

end;

Пример 5.4. Найти сумму всех целых чисел, больших -50 и меньших 200, которые кратны 5 и 8 и заканчиваются на 5 или 0. Вывести эти числа.

Приложение во время выполнения

Дата добавления: 2015-07-10