Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Необходимое условие сходимости ряда.

Читайте также:
  1. I.3. Оператор цикла с предусловием.
  2. VI. Составление договоров подряда.
  3. Вежливая просьба — лучший способ получить необходимое.
  4. Для которого Я отделил тебя, и Моя сила даст тебе все необходимое.
  5. Договор бытового подряда.
  6. Здоровое правосознание субъектов правовой работы ­– главное условие успешной правовой работы в деле вооруженной защиты Отечества
  7. Какое условие для Вас будет достаточным для создания семьи?

Если числовой ряд сходится, то предел его k-ого члена равен нулю: .При исследовании любого числового ряда на сходимость в первую очередь следует проверять выполнение необходимого условия сходимости. Невыполнение этого условия указывает на расходимость числового ряда, то есть, если , то ряд расходится.
С другой стороны нужно понимать, что это условие не является достаточным. То есть, выполнение равенства не говорит о сходимости числового ряда . К примеру, для гармонического ряда необходимое условие сходимости выполняется а ряд расходится.
Пример.Исследовать числовой ряд на сходимость.
Решение.
Проверим необходимое условие сходимости числового ряда:


Предел n-ого члена числового ряда не равен нулю, следовательно, ряд расходится.

 

 

Пусть мы имеем числовую последовательность , где .
Приведем пример числовой последовательности: .


Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида .

называют общим членом числового ряда или k–ым членом ряда.

Частичная сумма числового ряда – это сумма вида , где n – некоторое натуральное число. называют также n-ой частичной суммой числового ряда.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм .

 

Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Суммой сходящегося числового ряда называется предел последовательности его частичных сумм, то есть, .

Сумма вида называется гармоническим числовым рядом.
Сумма вида , где s – некоторое действительное число, называется обобщенно гармоническим числовым рядом.

 

Теорема 1.1. (теорема Абеля).Если степенной ряд (1.2) сходится при некотором , где -число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что Наоборот, если ряд (12) расходится при , то он расходится при всех значениях x таких, что

Доказательство.Пусть числовой ряд

(1.3)

сходится. Поэтому Но любая последовательность, имеющая предел, ограничена, значит, существует такое число M, что для всехn=0,1,2,…

Рассмотрим теперь ряд

(1.4)

предполагая, что Так как и при этом то члены ряда (3.4) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда

(геометрической прогрессии). Следовательно, ряд (1.4) сходится, а ряд (1.2) абсолютно сходится.

Предположим теперь, что ряд (1.3) расходится, а ряд (1.2) сходится при Но тогда из сходимости ряда (1.2) следует сходимость и ряда (1.3), что противоречит предположению. Теорема доказана.

Теорема Абеля позволяет дать описание области сходимости степенного ряда.

 


Дата добавления: 2015-07-10; просмотров: 132 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
II. КОЛЕБАНИЯ| Часть Первая Исповедание веры

mybiblioteka.su - 2015-2017 год. (0.082 сек.)