Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Тема 3. Теория массового обслуживания

Читайте также:
  1. Gt;§ 2. Действия, производимые изменением количества денег (M). Количественная теория в причинном смысле
  2. III. Зрелая теория Хорни
  3. JOURNAL OF COMPUTER AND SYSTEMS SCIENCES INTERNATIONAL (ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ)
  4. VII. Теория
  5. XLIX Теория "социал-фашизма" и приход к власти Гитлера
  6. Адреса терминалов самообслуживания ОАО Тюменская транспортная система
  7. Анализ системы массового обслуживания супермаркета

1. Задачи теории массового обслуживания.Классификация систем массового обслуживания (СМО)

Функционирование многих реальных сложных систем носит характер обслуживания поступающих в систему заявок. Для выполнения совокупности действий или операций, имеются специальные каналы.

Любая СМО предназначена для обслуживания какого-то потока заявок (или требований), поступающих в какие-то случайные моменты времени. Обслуживание заявки продолжается какое-то случайное время, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что в какие-то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое число заявок, в другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем, состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких-то событий (или прихода новой заявки, или окончания обслуживания или момента, когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь).

Предмет теории МО – построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы, характер потока заявок) с интересующими нас характеристиками – показателями эффективности СМО, описывающими и способность справляться с потоком заявок. В качестве таких показателей могут быть использованы различные величины, например: среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее число занятых каналов; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания; вероятность того, что число заявок в очереди превысит какое-то значение и т.д.

Математический анализ работы СМО очень облегчается, если процесс этой работы – Марковский.

СМО можно делить на классы по ряду признаков.

Первое деление на СМО с отказами и с очередью. В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует. Примеры СМО с отказами встречаются в телефонии: заявка на разговор, пришедшая в момент, когда все каналы связи заняты, получает отказ и покидает СМО необслуженной. В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.

СМО очередью подразделяется на разные виды, в зависимости от того, как организована очередь – ограничена она или не ограничена. Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания (так называемые «СМО с нетерпеливыми заявками»).

СМО можно так же классифицировать по дисциплине обслуживания. Заявки могут обслуживаться либо в порядке поступления (раньше пришла, раньше обслуживается), либо в случайном порядке. Нередко встречаются так называемое обслуживание с приоритетом – некоторые заявки обслуживаются вне очереди. Приоритет может быть как абсолютный – когда заявка с более высоким приоритетом «вытесняет» из обслуживания заявку с низшим приоритетом, так и относительным – когда начатое обслуживание доводиться до конца, а заявка с более высоким приоритетом имеет лишь право на лучшее место в очереди.



Существуют СМО с так называемым многофазовым обслуживанием, состоящим из нескольких последовательных этапов (например, покупатель, пришедший в магазин, должен сначала выбрать товар, затем оплатить его в кассе, затем получить на контроле).

Кроме этих признаков, СМО делятся на 2 класса: открытые и замкнутые. В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже неисправно и ждет наладки.

Загрузка...

Наиболее употребляемой является классификация Кендалла. В соответствии с этой классификацией тип СМО задается четверкой символов, 2 первых из которых – буквы, а третий и четвертый – цифры. Первая буква определяет входящий поток требований. При этом случайные продолжительности интервалов между моментами поступления требований независимы, одинаково распределены и имеют

M – показательное

D – вырожденное

E – эрланговое

G – произвольное распределение.

Те же буквы на втором месте аналогичным образом задают распределение времени обслуживания. Цифра, стоящая на третьей позиции, определяет число обслуживающих каналов, а четвертая – количество мест для ожидания.

 

2. СМО M/M/n/0

Рассмотрим элементарный случай, когда входящий поток – простейший, продолжительность обслуживания экспоненциальная, места для ожидания в очереди отсутствуют. Анализ может быть проведен с использованием теории Марковских процессов.

Введем множество возможных состояний системы:

все каналы системы свободны;

один канал занят, остальные свободны;

……………………………………………………………………………

все n каналов системы заняты.

Будем считать, что интенсивность входящего потока заявок равна , а закон распределения продолжительности обслуживания имеет вид , где интенсивность обслуживания выражает количественно среднее число заявок, которое каждый канал системы в состоянии обслужить

, среднее время обслуживания.

Нарисуем граф переходов системы

 

 

Система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний имеет вид:

Систему уравнений необходимо дополнить условием нормировки . Для решения системы используют преобразование Лапласа. При этом получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:

 

Решив эту систему уравнений и выполнив обратное преобразование Лапласа, получим соотношение для . Для оценки эффективности СМО интерес представляет асимптотическое поведение систему при . В этом случае процесс в системе приобретает установившийся характер и поэтому . Тогда уравнения системы упрощаются к виду:

 

Введем переменную . Тогда

 

Откуда легко видеть, что Поэтому

.

Тогда

Таким образом, вероятности всех состояний выражены через . Для расчета используем условие нормировки.

 

Введем параметр , который называется приведенной интенсивностью входного потока. Тогда

 

Эти соотношения называются формулами Эрланга. С использованием этих формул легко рассчитать вероятность отказа системы

Можно найти относительную пропускную способность – вероятность того, что заявка будет обслужена

Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок на : .

Среднее число занятых каналов можно найти, как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями 0,1,…,n и вероятностями этих значений

 

Введем . Тогда

 

С другой стороны, среднее число занятых каналов можно найти по другому. Абсолютная пропускная способность - это интенсивность потока обслуженных системой заявок. Каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем заявок. Значит среднее число занятых каналов равно:

.


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 212 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
СМО С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ОЖИДАНИЯ| СМО с ожиданием

mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.012 сек.)