Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теоретические основы метода статистического моделирования

Реальных условий их применения | Основные свойства и характеристики моделей | Особенности моделирования и испытаний сложных систем | Показатели эффективности систем | Классификация моделей по способу физической реализации | Классификация моделей по форме математического описания | Построении моделей сложных систем | Вероятностные автоматы и марковские цепи | Модели с дискретными состояниями и непрерывным временем | Точность оценок и определение необходимого количества опытов |


Читайте также:
  1. A) Основы фантоматики
  2. B) Формулировка метода
  3. E) Безумие, не лишенное метода
  4. I. ВВОДНАЯ ЧАСТЬ. Теоретические сведения
  5. I. ВВОДНАЯ ЧАСТЬ. Теоретические сведения
  6. I. ВВОДНАЯ ЧАСТЬ. Теоретические сведения
  7. I. ВВОДНАЯ ЧАСТЬ. Теоретические сведения

 

Метод статистического моделирования в целом базируется на положениях и результатах теории вероятностей и математической статистики [10, 15, 20, 35]. Рассмотрим ряд основных понятий и теорем, называемых предельными и объединяемых обычно общим названием - закон больших чисел, на которых основаны центральные идеи метода статистического моделирования.

В рамках закона больших чисел используется понятие предела по вероятности, отличающееся от обычного понятия предела, рассматриваемого в дифференциальном исчислении, и определяемое следующим образом.

Последовательность случайных величин { yn } = y 1, y 2,…, yn,… сходится по вероятности к случайной величине y, если вероятность того, что yn отличается от y на любое конечное число, стремится к нулю при неограниченном увеличении n:

при n→∞, если для любого e>0.

Решение любой задачи статистического моделирования сводится к усреднению результатов некоторой последовательности, или совокупности, опытов. Итоговые результаты определяются в виде вероятностей, моментов или законов распределения. Обычно принято рассматривать в качестве основных две задачи: определение вероятности случайного события в рамках схемы Бернулли и определение математического ожидания случайной величины.

Схема Бернулли состоит в проведении независимых опытов в однородных условиях, в результате каждого из которых может быть зафиксировано или не зафиксировано наступление некоторого события A. Событие A является случайным, то есть существует, но неизвестна его вероятность P (А)= p А.

Если проведены n опытов по схеме Бернулли, и в n А из них событие A зафиксировано, то отношение

(3.1)

называется относительной частотой появления события A.

Теорема Бернулли: последовательность относительных частот появления события A в n независимых опытах сходится по вероятности к истинной p А при n→∞.

При определении математического ожидания также должны обеспечиваться независимость опытов и однородность условий их проведения. При соблюдении таких условий результаты отдельных опытов рассматриваются как последовательность { xn }= x 1, x 2,…, xn,… независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения вероятностей. Если проведены n таких опытов, вводится новая случайная величина

(3.2)

Теорема Хинчина: если x 1, x 2,… – последовательность независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения с конечным математическим ожиданием mx, то последовательность средних арифметических (n = 1,2,...) сходится по вероятности к mx.

Существуют также другие формулировки указанных положений закона больших чисел. Например, усиленный закон больших чисел в форме Колмогорова: для того чтобы среднее арифметическое независимых реализаций случайной величины сходилось с вероятностью, равной единице, к ее математическому ожиданию, необходимо и достаточно, чтобы это математическое ожидание существовало.

Отметим, что указанное свойство относится как к непрерывным, так и к дискретным случайным величинам, составляющим последовательность { xn }. Причем для дискретной случайной величины математическое ожидание и среднее арифметическое могут рассматриваться как непрерывные величины. В этом смысле результаты отдельных опытов по схеме Бернулли могут трактоваться как независимые реализации дискретной случайной величины x с двумя возможными значениями 0 и 1. Среднее арифметическое n таких реализаций совпадет с относительной частотой (3.1). Подобным образом любая другая задача статистического моделирования может быть сведена к задаче определения математического ожидания.

Независимо от вида приведенные положения закона больших чисел выражают основную идею метода статистического моделирования: наблюдение большого числа реализаций случайной величины позволяет сделать правильные выводы о ее средних характеристиках. Однако для решения практических задач принципиального обоснования возможности получения результата за счет неограниченного увеличения количества опытов недостаточно. Необходимо иметь возможность определения требуемого количества опытов и оценки погрешности получаемого результата. Рассмотрим еще ряд положений и предельных теорем теории вероятностей.

Важную роль в расчетных соотношениях метода статистического моделирования играет одномерный нормальный закон распределения. Нормальным называется закон распределения суммы большого числа независимых случайных величин, каждая из которых мала по сравнению с суммой. Для непрерывной случайной величины x, распределенной по нормальному закону, плотность распределения вероятностей (ПРВ) описывается аналитическим выражением:

, (3.3)

где mx – первый начальный момент распределения, или математическое ожидание; s x – среднеквадратическое отклонение, ; Dx – второй центральный момент распределения, или дисперсия. Нормальный закон распределения (3.3) полностью задается парой чисел mx и s x или mx и Dx.

Стандартизованным нормальным распределением называется нормальное распределение некоторой случайной величины u с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией:

(3.4)

Связь любой случайной величины x с нормальным законом распределения и стандартизованной нормальной случайной величины u выражается следующими соотношениями:

, x=mx + u s x. (3.5)

Случайная величина y имеет асимптотически нормальный закон распределения, если существует последовательность пар действительных чисел (mn, s n), таких, что последовательность случайных величин, получаемых для отдельных реализаций yn по соотношению

при n→∞, сходится по вероятности к стандартизованной нормальной случайной величине.

Одна из предельных теорем теории вероятностей гласит, что последовательность относительных частот в схеме Бернулли hn имеет асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией

. (3.6)

В соответствии с центральной предельной теоремой последовательность случайных величин, определяемых по (3.2), имеет асимптотичеcки нормальное распределение с математическим ожиданием, равным математическому ожиданию исходной последовательности независимых случайных величин, и дисперсией:

, (3.7)

если только математическое ожидание и дисперсия существуют.

Эти две теоремы являются основой для оценки погрешностей статистического моделирования. При этом следует иметь в виду, что понятия предела по вероятности, асимптотически нормального распределения и все предельные теоремы в строгом смысле справедливы только для бесконечного числа опытов n. При любом реализованном на практике конечном n любое из приведенных выше соотношений может не подтвердиться с вероятностью, отличной от нуля.


Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 84 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Алгоритмы реализации моделей| Понятие оценки. Свойства оценок

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)