Основные расчетные соотношения

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕПЕЙ И

КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Основные расчетные соотношения

Комплексной частотной характеристикой (КЧХ) цепи называется отношение комплексных изображений и воздействия:

H _kν(j ω) = H _kν(ω) exp[ j ψ_kν(ω)] = (3.1)

Здесь и – комплексное действующие значение или амплитуды реакции цепи на k -ом выходе и входного воздействия на ν -ом входе; H _kν(ω) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) цепи; ψ_kν(ω) – фазочастотная характеристика (ФЧХ).

Частотные характеристики делятся на входные:

- комплексное входное сопротивление

, (3.2)

- комплексная входная проводимость

(3.3)

и передаточные:

- комплексный коэффициент передачи по напряжению

, (3.4)

- комплексный коэффициент передачи по току

, (3.5)

- комплексное передаточное сопротивление

, (3.6)

- комплексная передаточная проводимость

(3.7)

Частотные характеристики в соответствии с (3.1) предназначены для определения реакции цепи на заданное гармоническое воздействие.

При анализе резонанса в электрических цепях можно воспользоваться соотношениями, приведенными в литературе [1, 2].

Исходным положением для анализа переходного процесса в линейных электрических цепях является то, что переход реальной цепи от одного установившегося режима к другому не может происходить мгновенно, поскольку это потребует бесконечной мощности подключаемых источников. Отсутствие таких источников приводит к тому, что суммарная запасенная в цепи энергия может изменяться только плавно, т.е. представляет собой непрерывную функцию времени. Это позволяет сделать вывод о неизменности в первое мгновение после коммутации t =0₊ суммарных потокосцепления и заряда в цепи по отношению к их значениям в мгновение перед коммутацией t =0_-:

(3.8)

Если при коммутации не производится подключения или отключения ветвей, содержащих L и C, то из (3.8) следует непрерывность токов индуктивностей и напряжений емкостей (в первое мгновение эти параметры неизменны, а затем плавно изменяются, начиная со своих значений) – первый и второй законы коммутации:

i_L(0₊)=i_L(0_-), u_c(0₊)=u_c(0_-). (3.9)

При этом i_C, u_L, i_R, u_R могут изменяться произвольно, в том числе и скачкообразно.

При анализе переходного процесса в линейных инвариантных во времени цепях с сосредоточенными параметрами классическим методом необходимо провести:

1. Анализ цепи до коммутации (определение независимых начальных условий i _L, u _Спри ).

2. Определение i _L, u _Cпри с помощью законов коммутации или принципа непрерывности потокосцепления и заряда.

3. Составление дифференциального уравнения цепи после коммутации при t 0 (относительно искомого i _L, или u _C):

. (3.10)

4. Определение свободной составляющей реакции цепи (составление характеристического уравнения цепи, определение его корней и общего вида свободной составляющей – общего решения ОДУ):

, (3.11)

(3.12)

когда все корни уравнения (3.11) простые (различные);

(3.13)

для корня p_k характеристического уравнения (3.11) кратностью n.

5. Анализ установившегося процесса в цепи после коммутации при (отыскание принужденной составляющей реакции цепи – частного решения ДУ цепи):

. (3.14)

6. Нахождение общего вида реакции цепи (общее решение ДУ – суммирование свободных и принужденных составляющих):

(3.15)

7. Определение постоянных интегрирования , которые находятся по независимым начальным условиям – значениям i, u и их первым производным при t = 0.

8. Определение реакции цепи, соответствующей заданным начальным условиям (подставляя постоянные интегрирования в общее решение ДУ цепи находим его решение, соответствующее заданным начальным условиям, т.е. i либо u одной из ветвей при t >0).

Следует отметить, что в цепях с одним энергоемким элементом переходный процесс апериодический. В цепях с малыми потерями, содержащих индуктивность и емкость при коммутации возможно появление колебаний. Это явление наблюдается при отрицательном дискриминанте квадратичного характеристического уравнения (корни уравнения комплексно сопряженные).

Для последовательной RLC – цепи это соответствует ее добротности (сопротивление потерь , где – характеристическое сопротивление). При этом свободные колебания в цепи имеют частоту:

, (3.16)

где – резонансная частота цепи, а – коэффициент их затухания.

Сопротивление потерь добротность () соответствует критическому режиму для возникновения колебаний.

Классический метод, как правило, применяют, когда исследуемая цепь имеет невысокий порядок сложности, а внешнее воздействие после коммутации гармоническое или постоянное.

Приведенные соотношения используются при выполнении расчетно-графической работы и подробно обсуждаются в [1,2]. С примерами решения задач можно ознакомиться в [3]. При подготовке заданий использовались материалы работы [4].

Варианты заданий

Вариант №1

R = 200 Ом, C = 20 мкФ. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению. 2). Заменив одно из сопротивлений на L = 20 мГн найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.

 

	R = 100 Ом, L = 50 мГн, E = 40 В. Получить формулу и построить график uL (t).

 

C = 5 мкФ, R = 40 Ом, L = 40 мГн, Е = 10 В. Проанализировать и качественно построить график u_C(t).

Вариант №2
	R1 = 200 Ом, R2 = 800 Ом, С = 50 мкФ. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению. 2). Заменив R1 на индуктивность L = 20 мГн найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.
	R = 100 Ом, L = 50 мГн, E = 40 В. Получить формулу и построить график uR(t).
32	E = 80 B, R = 100 Ом, L = 40 мГн, C = 5 мкФ. Проанализировать и качественно построить график uL(t).

Вариант №3

 

R₁ = 150 Ом, R₂ = 50 Ом, L = 0,2 Гн. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению. 2). Заменив R₁ на емкость C = 20 мкФ найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.

 

	E = 60 B, R = 2 кОм, C = 5 мкФ. Получить формулу и построить график uC(t).

E = 10 B, R = 2 кОм, L = 25 мГн, C = 25 нФ. Проанализировать и качественно построить график i_С(t).

Вариант №4
	R1 = 150 Ом, R2 = 50 Ом, С = 250 мкФ. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению. 2). Заменив R1 на индуктивность L = 20 мГн найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.
	E = 30 B, R = 100 Ом, L = 50 мГн. Получить формулу и построить график uL(t).
	E = 50 B, R = 20 кОм, L = 50 мГн, C = 2 нФ. Проанализировать и качественно построить график ic(t).

Вариант №5

 

R₁ = 50 Ом, R₂ = 200 Ом, L = 80 мГн. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению. 2). Заменив R₁ на емкость C = 20 мкФ найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.

 

	E = 30 B, R = 20 Ом, L = 0,2 Гн. Получить формулу и построить график iL(t).

E = 20 B, R = 10 кОм, L = 125 мГн, C = 5 нФ. Проанализировать и качественно построить график u_L(t).

Вариант №6
	R1 = 150 Ом, R2 = 50 Ом, L = 0,1 Гн. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению. 2). Заменив R1 на емкость C = 20 мкФ найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.
	E = 250 B, R = 125 Ом, L = 8 мкФ. Получить формулу и построить график iC(t).
	E = 80 B, R = 40 Ом, L = 10 мГн, C = 25 мкФ. Проанализировать и качественно построить график uC(t).

Вариант №7

R = 100 Ом, C = 125 мкФ. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению. 2). Заменив одно из сопротивлений на индуктивность L = 20 мГн найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.

 

	E = 120 B, R1 = 60 Ом, R2 = 30 Ом, С = 50 мкФ. Получить формулу и построить график iC(t).

E = 50 B, R = 100 Ом, L = 200 мГн, C = 20 мкФ. Проанализировать и качественно построить график u_C(t).

Вариант №8
	R1 = 200 Ом, R2 = 50 Ом, L = 40 мГн. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению. 2). Заменив R2 на емкость C = 20 мкФ найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура считая R1 нагрузкой.
	E = 50 B, R1 = 20 кОм, R2 = 5 кОм, С = 5 мкФ. Получить формулу и построить график iR2(t).
	E = 50 B, R = 100 Ом, L = 40 мГн, C = 5 мкФ. Проанализировать и качественно построить график uC(t).

Вариант №9

 

R₁ = 800 Ом, R₂ = 200 Ом, C = 50 мкФ. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению. 2). Заменив R₂ на индуктивность L = 20 мГн найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура считая R₁ нагрузкой.  

 

	E = 60 B, R = 5 кОм, C = 2,5 мкФ. Получить формулу и построить график uC(t).

E = 8 B, R = 100 Ом, L = 20 мГн, C = 5 мкФ. Проанализировать и качественно построить график i_R(t).

Вариант №10
	R = 100 Ом, L = 50 мГн. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению. 2). Заменив одно из сопротивлений на емкость C = 20 мкФ найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.
	E = 30 B, R = 10 кОм, C = 2,5 мкФ. Получить формулу и построить график iC(t).
	E = 40 B, R = 200 Ом, L = 40 мГн, C = 5 мкФ. Проанализировать и качественно построить график uC(t).

Вариант №11

R = 25 Ом, L = 50 мГн. Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению. 2). Добавив после сопротивления R емкость C = 20 мкФ найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.  

 

	E = 30 B, R = 20 Ом, L = 0,2 Гн. Получить формулу и построить график iL(t).

E = 50 B, R = 100 Ом, L = 50 мГн, C = 20 мкФ. Проанализировать и качественно построить график u_L(t).

Вариант №12
	R1 = 80 Ом, R2 = 20 Ом, L = 100 мГн. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению. 2). Заменив R1 на емкость C = 20 мкФ найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.
	E = 100 B, R1 = 30 Ом, R2 = 600 Ом, R3 = 30 Ом, C = 5 мкФ. Получить формулу и построить график iR1(t).
	E1 = 50 B, E2 = 75 B, R = 200 Ом, L = 200 мГн, C = 20 мкФ. Проанализировать и качественно построить график uL(t).

Вариант №13

 

R₁ = 500 Ом, R₂ = 300 Ом, C = 50 мкФ. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению. 2). Заменив сопротивление R₁ на индуктивность L = 20 мГн и уменьшив R₂ в 10 раз найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.  

 

	E = 50 B, R1 = 20 Ом, R2 = 5 Ом, L = 0,1 Гн. Получить формулу и построить график uR1(t).

E = 50 B, R = 400 Ом, L = 40 мГн, C = 5 мкФ. Проанализировать и качественно построить график i_C(t).

Вариант №14
	R1 = 20 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 6 Ом, L = 180 мГн. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению. 2). Исключив R1 и заменив R2 на емкость C = 20 мкФ найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.
L . . E R2 . R2	E = 50 B, R1 = 5 Ом, R2 = 25 Ом, L = 0.1 Гн. Получить формулу и построить график uR1(t).
	E = 50 B, R = 5 кОм, L = 50 мГн, C = 2 нФ. Проанализировать и качественно построить график uL(t).

Вариант №15

 

R = 150 Ом, C = 20 мкФ. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению. 2). Уменьшив R в 10 раз и добавив последовательно с ним индуктивность L = 20 мГн найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.

 

	E = 120 B, R1 = 2.5 кОм, C = 2 мкФ. Получить формулу и построить график uC(t).

E = 50 B, R = 10 кОм, L = 125 мГн, C = 5 нФ. Проанализировать и качественно построить график i_L(t).

Вариант №16
	R1 = 200 Ом, R2 = 800 Ом, С = 50 мкФ. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению. 2). Заменив сопротивление R1 на индуктивность L = 20 мГн найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.
	E = 150 B, R1 = 50 Ом, R2 = 25 Ом, C = 20 мкФ. Получить формулу и построить график uR2(t).
	E = 40 B, R = 20 Ом, L = 10 мГн, C = 25 мкФ. Проанализировать и качественно построить график iС(t).

Вариант №17

 

R₁ = 200 Ом, R₂ = 50 Ом, L = 100 мГн. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ входной проводимости. 2). Заменив сопротивление R₁ на емкость C = 20 мкФ найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.

 

	E = 100 B, R1 = 20 Ом, R2 = 5 Ом, C = 50 мкФ. Получить формулу и построить график iR2(t).

E = 25 B, R = 100 Ом, L = 40 мГн, C = 5 мкФ. Проанализировать и качественно построить график u_R(t).

Вариант №18
	R1 = 200 Ом, R2 = 50 Ом, C = 20 мкФ. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению. 2). Заменив сопротивление R1 на индуктивность L = 20 мГн и уменьшив R2 в 5 раз найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.
	E = 10 B, R = 5 Ом, L = 0,01 Гн. Получить формулу и построить график uL(t).
	E = 25 B, R = 100 Ом, L = 20 мГн, C = 5 мкФ. Проанализировать и качественно построить график iC(t).

Вариант №19
	R1 = 200 Ом, R2 = 50 Ом, L = 20 мГн. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ входного сопротивления. 2). Заменив сопротивление R1 на емкость C = 20 мкФ и увеличив R2 в 10 раз найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.
	E1 = 75 B, E2 = 25 В, R = 4 кОм, C = 20 мкФ. Получить формулу и построить график iC(t).
	E = 100 B, R = 200 Ом, L = 40 мГн, C = 5 мкФ. Проанализировать и качественно построить график uL(t).

Вариант №20
	R1 = 80 Ом, R2 = 20 Ом, С = 50 мкФ. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ входного сопротивления. 2). Заменив сопротивление R2 на индуктивность L = 20 мГн и увеличив R1 в 5 раз найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.
	E1 = 125 B, R = 25 Ом, C = 20 мкФ, E2 = 25 В. Получить формулу и построить график uC(t).
	E = 20 B, R = 10 Ом, L = 50 мГн, C = 20 мкФ. Проанализировать и качественно построить график iL(t).

Вариант №21
	R1 = 80 Ом, R2 = 20 Ом, L = 40 мГн. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ входного сопротивления. 2). Заменив сопротивление R2 на емкость C = 20 мкФ и увеличив R1 в 10 раз найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.
	E = 125 B, R = 250 Ом, С = 20 мкФ. Получить формулу и построить график iC(t).
	E = 20 B, R = 10 Ом, L = 20 мГн, C = 50 мкФ. Проанализировать и качественно построить график uR(t).

Вариант №22
	R = 25 Ом, С = 15 мкФ. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ входной проводимости. 2). Добавить последовательно с сопротивлением R индуктивность L = 20 мГн и найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.
	E1 = 100 B, R = 50 Ом, C = 40 мкФ, E2 = 50 В. Получить формулу и построить график uC(t).
	E = 100 B, R = 40 Ом, L = 40 мГн, C = 100 мкФ. Проанализировать и качественно построить график iC(t).

Вариант №23
	R1 = 75 Ом, R2 = 25 Ом, L = 60 мГн. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению. 2). Заменив сопротивление R1 на емкость C = 20 мкФ и уменьшив R2 в 5 раз найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.
	E = 300 B, R = 100 Ом, C = 50 мкФ. Получить формулу и построить график iC(t).
	E = 25 B, R = 5 кОм, L = 50 мГн, C = 2 нФ. Проанализировать и качественно построить график uR(t).

Вариант №24
	R1 = 6 Ом, R2 = 4 Ом, L = 20 мГн. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению. 2). Заменив сопротивление R1 на емкость C = 20 мкФ найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.
	E = 150 B, R = 50 Ом, C = 40 мкФ. Получить формулу и построить график uC(t).
	E = 12 B, R = 2 кОм, L = 25 мГн, C = 25 нФ. Проанализировать и качественно построить график uR(t).

Вариант №25

R₁ = R₂ = R₃ = 5 Ом, C = 50 мкФ. 1). Найти и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по току. 2). Исключив R₁ и R₂ и подключив последовательно с R₃ индуктивность L = 20 мГн найти резонансные сопротивление и частоту, добротность и полосу пропускания, построить АЧХ и ФЧХ получившегося колебательного контура.

 

	E = 120 B, R1 = 30 Ом, R2 = 60 Ом, R3 = 30 Ом, C = 50 мкФ. Получить формулу и построить график iR1(t).

E = 25 B, R = 10 кОм, L = 125 мГн, C = 5 нФ. Проанализировать и качественно построить график u_L(t).

Список литературы

1. Попов В.П. Основы теории цепей. М.: Высшая школа, 2005.

2. Бакалов В.П. Основы теории цепей: Учебник для вузов/ В.П.Бакалов, В.Ф. Дмитриков, Б.И. Крук. – М.:Радио и связь, 2005.

3. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. – М.: Высшая школа, 1990.

4. Крук Б.И., Журавлева О.Б., Сметанина М.И., Булатова Г.И., Сафронова Т.Е. Сборник тестовых задач по курсу «Теория электрических цепей». Часть 1 / Под редакцией проф. Б.И. Крука. Новосибирск: СибГАТИ, 1995.

Дата добавления: 2015-11-03