Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Геометричний зміст подвійного інтегралу

Властивості інтегралу Римана. | Формула інтегрування частинами під знаком означеного інтегралу. | Економічний зміст означеного інтегралу | Обчислення площ плоских фігур. | Обчислення довжин плоских дуг | Обчислення об’ємів тіл обертання | Застосування означеного інтегралу в економіці | НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ | Ознака порівняння для інтегралів від невід’ємних функцій в граничній формі. | Визначення подвійного інтегралу та його властивості |


Читайте также:
  1. Автоматичний зміст.
  2. Визначення подвійного інтегралу та його властивості
  3. Вимоги до змісту й оформлення документів
  4. Вимоги до змісту курсової роботи
  5. ВИМОГИ ДО ЗМІСТУ ТА РОЗТАШОВУВАННЯ РЕКВІЗИТІВ ДОКУМЕНТІВ
  6. Вимоги, які висуваються до форми та змісту процесуальних рішень.
  7. Властивості інтегралу Римана.

 

Якщо функція неперервна на , то подвійний інтеграл представляє собою об’єм прямого циліндричного тіла, що побудовано на області , як на основі і обмеженого зверху поверхнею (див. рис. 5.4). Якщо =1 для усіх , то чисельно дорівнює площі області , тобто .

 

1. Обчислити площі плоских фігур, що обмежені лініями

а) ,

б) .

а) Дані дві параболи читачеві пропонується зобразити самостійно. Координати точок перетину цих парабол є розв’язками системи рівнянь , тобто . У даному випадку в якості зовнішньої межі інтегрування простіше обрати . Області відповідають такі зміни і : , , Вважаючи на геометричний зміст подвійного інтегралу, отримаємо:

.

б) Уведемо полярні координати , тоді , а рівняння кривої, що обмежує область придбає вигляд: , тобто . Межі зміни полярного кута знайдемо із нерівності , тобто . На відрізку ця нерівність має розв’язок , тому

.

2. Обчислити об’єм тіла, що обмежено поверхнями

а) ,

б) .

а) В першому октанті площина відсікає піраміду, а на площині xOy ‑ трикутник ОАВ прямою , тобто . Площина ділить піраміду на дві піраміди, а трикутник ОАВ ‑ на два трикутники ОКВ і ОКА, які є проекціями створених пірамід. Оскільки не зазначено, об’єм якої саме піраміди потрібно знайти, знайдемо об’єми обох.

Знайдемо координати точки К, що є точкою перетину прямих і . Для цього розв’яжемо систему , звідки отримаємо .

Виходячи з геометричного змісту подвійного інтегралу, знайдемо об’єм піраміди з основою ОКА: . Даний інтеграл простіше обчислити, обравши зовнішньою межею інтегрування y. В рівняннях прямих х виразимо через у, одержимо: , а інтеграл придбає вигляд:

Об’єм піраміди з основою ОКВ можна знайти за допомогою подвійного інтегралу, а можна і з розумінь аналітичної геометрії. Об’єм усієї піраміди, що відсікається площиною дорівнює , тому шуканий об’єм дорівнює .

б) Поверхня є циліндричною з твірною, що паралельна вісі Оу. Вона відсікає на площині хОу півплощину . Рівняння поверхні можна переписати, виділивши повний квадрат, у вигляді . Звідси зрозуміло, що ця поверхня є круговим циліндром. В проекції на хОу цей циліндр утворює коло з центром в точці (2; 0) радіусу 2, яке цілком міститься в середині півплощини . Тому проекцією даного тіла на площину хОу є круг, який обмежує зазначене коло (рис. 5.6).

Об’єм даного тіла обчислюється за формулою . В рівнянні кола виражаємо через : , де знак „+” відповідає верхній частині кола, а „‑” – нижній. Область характеризується такою зміною координат: , тому одержуємо:


Дата добавления: 2015-10-02; просмотров: 268 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Обчислення подвійних інтегралів| ТИПОВЕ ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)