Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Достаточное условие устойчивости распределенных систем

ЗАДАНИЯ НА ЛАБОРАТОРНУЮ РАБОТУ | КРАТКАЯ ТЕОРИЯ | Пространственно-изодромное звено | Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР) для процессов, описываемых линейной системой дифференциальных уравнений | Статическая точность системы | Процедура синтеза | КРАТКАЯ ТЕОРИЯ | Одномерный объект | Двумерный объект | КРАТКАЯ ТЕОРИЯ |


Читайте также:
  1. FreshOffice WEB Облачное решение. CRM-система управления взаимоотношениями с клиентами и контроля внутренних процессов.
  2. If (условие)
  3. II. ОПИТУВАННЯ ПО СИСТЕМАМ ОРГАНІЗМУ
  4. III. Анализ информационного обеспечения системы управления
  5. III. ОПЛАТА ПРАЦІ, ВСТАНОВЛЕННЯ ФОРМИ, СИСТЕМИ, РОЗМІРІВ ЗАРОБІТНОЇ ПЛАТИ Й ІНШИХ ВИДІВ ТРУДОВИХ ВИПЛАТ
  6. IV. ОРГАНИЗАЦИОННАЯ ОСНОВА СИСТЕМЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
  7. IV. Участники и система проведения

Положим, что замкнутую распределенную систему со скалярной функцией входа структурно можно представить бесконечной совокупностью независимых контуров.

Пусть передаточная функция по контуру управления (см. рис. 2.1) имеет вид:

, (2.1)

где , - целые аналитические функции.

Характеристическое уравнение по контуру

 

, . (2.2)

 

Решая уравнение (2.2), определим свободное движение в каждом контуре. Положим, что решение (2.2) найдено. Свободное движение в каждом контуре системы управления может быть определено из следующего соотношения:

, , (2.3)

где , - корни уравнения (2.2);

, - постоянные числа, определяемые начальными условиями.

 

Рис. 2.1 Система управления.

 

В силу того, что контуры системы управления независимы, свободное движение всей системы будет складываться из суммы свободных движений в каждом контуре системы управления, умноженных на соответствующие пространственные моды:

 

. (2.4)

Будем считать, что система с распределенными параметрами, представленная на рис. 2.1, передаточная функция которой по каждому контуру управления имеет вид (2.1), является устойчивой, если

.

Утверждение 1. Для устойчивости системы с распределенными параметрами, свободное движение которой представляется в виде (2.4.), достаточно, чтобы все корни имели отрицательные действительные части.

Доказательство:

Пусть

,

, (),

где - некоторая конечная область.

Полагая для всех (), ряд (2.4) промажорируем следующим рядом:

(2.5)

так как функция ограничена.

- максимальный по модулю элемент, принадлежащий области .

- минимальный по модулю элемент, принадлежащий спектру при ().

Рассмотрим функцию

.

 

Для нахождения рассмотрим усеченную функцию .

 

, (2.6)

где - целые числа, которые могут быть выражены через и коэффициенты .

,

,

.

Представим функцию (2.6) в виде

.

Преобразуя, получим:

.

Найдем предел функции .

(2.7)

Представим в виде:

где , .

 

Для исследования предела (2.7) определим производные функции и по

 

,

,

,

 

Тогда:

Так как , то по правилу Лопиталя

.

При функция равна функции , следовательно, .

Учитывая соотношение (2.5), получим:

,

что и требовалось доказать.

Если на пространственно-инвариантную систему подано векторное входное воздействие, то свободное движение системы, может быть определено из следующего соотношения: где

где - корни характеристического уравнения по контуру;

, () – постоянные числа, определяемые начальными условиями;

- свободное движение по i -му выходу системы.

В этом случае доказательство достаточного условия устойчивости аналогично приведенному выше.

Таким образом, для устойчивости пространственно-инвариантной системы достаточно, чтобы каждый контур был асимптотически устойчив.

 


Дата добавления: 2015-10-24; просмотров: 56 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Описание распределенных объектов дифференциальными уравнениями| Пространственно-усилительное звено

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)