Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Выпуклые множества

Задачи и упражнения | Выпуклые функции | Свойства выпуклых функций | Критерии выпуклости | Задачи и упражнения | Производные по направлениям и субдифференциалы | Геометрический смысл понятия субдифференциала | Свойства субдифференциала выпуклой функции | Примеры | Задачи и упражнения |


Читайте также:
  1. Выпуклые многогранники: Б, Д
  2. Выпуклые функции
  3. Если некоторые элементы одного множества определенным образом связаны между собой, то соответствующие им элементы другого множества так же связаны.
  4. Количество элементов во множествах (мощность множества)
  5. Метод двадцатого века заключается в использовании не одной, а множества моделей экспериментального исследования, т.е. техники «подвешенного» суждения
  6. Множества

Элементы выпуклого анализа

Методические указания к практическим занятиям

По курсу «Методы оптимизации»

Челябинск 1998

Выпуклые множества

Будем рассматривать векторы x, принадлежащие n-мерному пространству Rn . Заметим, что введенные ниже понятия можно распространить на произвольное линейное нормированное пространство Е. Большая часть приведенных ниже теорем при некоторых дополнительных предположениях будут также справедливы в пространстве Е. Однако в целях простоты и наглядности изложения ограничимся случаем пространства Rn.

Определение. Множество X Rn называется выпуклым, если для любых точек x X и y Y и любого числа [0,1] точка z = x +(1- )y также принадлежит множеству X.

Таким образом, по определению любое выпуклое множество вместе с каждыми своими двумя точками x и y содержит весь отрезок, их соединяющий.

Упражнение. Какие из представленных на рис. 1 множеств являются выпуклыми?

Определение. Будем говорить, что точка x является выпуклой линейной комбинацией точек x1,x2,…,xm, если существуют числа α12,…,αm такие, что

αi 0,i = , α12+…+αm=1 и x=α1x12x2+…+αmxm.

Определение. Пересечение всех выпуклых множеств, содержащих данное множество X, называется выпуклой оболочкой множества X и обозначается Conv X.

Пусть в Rn определенно (x,y) – скалярное произведение векторов x и y, ||x|| = - норма вектора x.

Определение. Точка x называется внутренней точкой множества X, если существует >0 такое, что множество Oε(x)={y Rn: ||x-y|| ε} содержится в X.

Определение. Множество внутренних точек множества X называется внутренностью множества X и обозначается int X.

Определение. Совокупность всех предельных точек множества X называется замыканием X и обозначается .

Определение. Замыкание выпуклой оболочки множества X называется замкнутой выпуклой оболочкой X и обозначается .

Определение. Точка x называется граничной точкой множества X, если любая её окрестность содержит как точки, принадлежащие X, так и точки не принадлежащие X. Множество всех граничных точек множества X называется его границей и обозначается X.


Дата добавления: 2015-09-01; просмотров: 69 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
выпуклого программирования градиентным методом.| Свойства выпуклых множеств.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)