Скалярное произведение равно сумме попарных произведений соответственных координат или произведению длин векторов-сомножителей на косинус угла между ними

(ab) = a₁b₁ + a₂b₂ + … + a_nb_n = = |a| |b| cos j.

Пр _b a =

10. Условия параллельности и перпендикулярности двух векторов

Два вектора параллельны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:

Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

11. Уравнение плоскости и смысл параметров.

Линейное уравнение в трехмерном пространстве с шестью параметрами:

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

описывает плоскость в пространстве. При этом параметры А,В,С определяют координаты вектора (А, В, С)′, перпендикулярного к плоскости, заданной уравнением; этот вектор называется вектором нормали.

Соответственно параметры (x₀, y₀, z₀) – координаты некоторой фиксированной (т.н. базисной) точки на нашей плоскости, переменные (x, y, z) описывают некую произвольную (текущую) точку, а разности (x - x₀), (y - y₀), (z - z₀) координаты текущего вектора. Если этот вектор окажется перпендикулярен нормали, а, значит, параллелен плоскости, это и будет означать, что точка (x, y, z) лежит на плоскости, описываемой указанным уравнением.

12. Уравнение прямой на плоскости и в пространстве.

Уравнение прямой в пространстве имеет вид: и содержит 6 параметров: (x₀, y₀, z₀) – координаты некоторой фиксированной (т.н. базисной) точки на прямой, а (m, n, p)′ - координаты некоторого вектора, параллельного прямой, его называют направляющим вектором прямой.

Прямую на плоскости можно рассмотреть с двух точек зрения. Ее можно рассмотреть как прямую в двумерном пространстве. Тогда это будет множество точек(x, y), которые в сочетании с базисной точкой (x₀, y₀) образуют векторы , параллельные данному вектору . Уравнение прямой в этом случае примет вид: . Это уравнение называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

С другой стороны, прямую на плоскости можно рассматривать, подобно плоскости в пространстве, как множество точек, пары которых образуют векторы, перпендикулярные данному. Соответственно, уравнение прямой на плоскости можно записать в форме уравнения плоскости, но для двух переменных: A(x - x₀) + B(y - y₀) = 0, где (А, В) координаты вектора нормали к прямой, а (x₀, y₀) – координаты некоторой фиксированной точки.

13. Собственные числа и собственные векторы матрицы (оператора)

Вектор a ¹ 0 называется собственным вектором оператора(матрицы) A, отвечающим собственному числу (собственному значению) l, если действие оператора A на вектор a сводится к умножению вектора a на число l: Aa = l a. Собственные числа являются корнями характеристического уравнения det (A – l E) = 0

14. Определенность формы и критерий Сильвестра.

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если она на всех ненулевых векторах принимает только положительные (только отрицательные) значения.

Критерий Сильвестра. Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры от порядка 1 до порядка n были положительны. Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы знаки всех главных миноров от порядка 1 до порядка n строго чередовались – знак главного минора порядка k был (–1)^k

Главным минором матрицы порядка k называется минор, построенный на первых k строках и первых k столбцах матрицы

дифференциальное исчисление.

Дата добавления: 2015-09-05