Операции над матрицами. Определение.Пусть

Определение. Пусть . Транспонирование матрицы А – это переход от матрицы А к матрице размера вида

,

строки которой – это столбцы матрицы А (см.(1)).

Очевидно, что .

Пример

Определение суммы матриц.

Пусть Тогда , то есть сумма матриц А и В одного размера - это матрица размера , каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, расположенных на одинаковых местах (в i – ой строке и j – ом столбце) в этих матрицах.

Пример

Определение умножения матрицы на число. Пусть и

Тогда , то есть для умножения матрицы на число нужно умножить на это число каждый элемент матрицы.

Определение умножения матриц. Пусть Только для матриц таких размеров (при которых длина l строки матрицы А равна высоте l столбца В) определено их произведение

,

где для

(2)

В (2) использовано стандартное сокращенное обозначение суммы нескольких величин:

Формулу (2) легко запомнить так:

элемент матрицы расположенный в i – ой строке и j – ом столбце матрицы С, равен «скалярному» произведению i – ой строки матрицы А на j – ый столбец матрицы В.

. (3)

Пример

Их произведение определено:

По формуле (2) или (3)

Следовательно,

Свойства сложения матриц, умножения матрицы на число и умножения матриц аналогичны свойствам сложения и умножения действительных чисел, но умножение матриц не коммутативно: в общем случае

В рассмотренном примере умножения матриц - матрица , но будет матрицей

Определение. Единичная матрица Е порядка n - это квадратная матрица порядка n вида

Е имеет свойства, аналогичные свойствам 1 при умножении действительных чисел: можно проверить, что для любой матрицы А размером

и .

Дата добавления: 2015-08-27