Читайте также:
|
|
Пусть на отрезке определена вещественнозначная функция .
Рассмотрим разбиение отрезка — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок на n отрезков . Длина наибольшего из отрезков называется шагом разбиения, где — длина элементарного отрезка.
Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется выражение .
Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора , то это число называется интегралом функции на отрезке , то есть .
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называют предел, к которому стремится интегральная сумма.
Теорема существования определённого интеграла. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема по этому отрезку.
Свойства:
Правило. Для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции надо найти для нее первообразную функцию и составить разность значений этой последней функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
19. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги плоской кривой, объема тела.
Пусть некоторая функция f(x) непрерывна на отрезке , и её график на данном промежутке представляет собой кривую или, что то же самое, дугу кривой :
В предположение о непрерывности производной на [a,b], длина кривой AB выражается формулой:
или компактнее:
Рассмотрим случай параметрического задания кривой:
где t ∈ [a,b]. В этом случае для определения длина дуги вычисляется определенный интеграл:
Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах ρ=ρ(φ) где φ ∈ [α,β]. Тогда для определения длины дуги вычисляется следующий определенный интеграл:
Вычисление объема тела вращения:
а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела ;
б) а если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой , прямыми y=c, y=d (c<d) и осью OY, вокруг оси OY, то его объем ;
в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией y = f (x), прямыми x = a, x = b (0≤a≤b) и осью OX, то его объем можно вычислить по формуле ;
г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой , двумя полярными радиусами и , то объем полученного тела может быть вычислен по формуле .
д)вычисление объема тела по площадям поперечных сечений
Пусть тело V расположено в пространстве между плоскостями x = a и x = b, и для известна площадь его поперечного сечения S = S (x). Требуется определить объём этого тела.
Рассечём это тело плоскостями x = x 0 = a, x = x 1, x = x 2, …, x = xi -1, x = xi, …, x = x n -1, x = xn = b на n слоёв (a = x 0< x 1 < < x 2< …< xn -1 < xn = b), на каждом из отрезков [ xi -1, xi ] возьмём произвольную точку ; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями x = xi -1 и x = xi приближённо равен объёму цилиндрика с площадью основания и высотой : . Сумма объёмов - объём ступенчатой фигуры - при стремится к искомому объёму V, поэтому .
Дата добавления: 2015-08-20; просмотров: 264 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Интегрирование гиперболических функций | | | Площадь поверхности вращения. |