Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Интегральная сумма, определенный интеграл (определение, теорема существования, основные свойства, правила вычисления)

Неявные функции и их дифференцирование. | Экстремум функции двух переменных, условный экстремум, наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области. | Полное приращение и полный дифференциал функции двух аргументов первого порядка. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям. | Дифференциалы высших порядков от функции двух аргументов. | Касательная плоскость и нормаль к поверхности в заданной точке. | Скалярное поле, производная по направлению, градиент, их свойства. | Интегрирование тригонометрических функций | Интегрирование дробно-рациональных функций. | Интегрирование некоторых трансцендентных функций. | Интегрирование простейших иррациональных алгебраических функций. |


Читайте также:
  1. CASE OF ILAŞCU AND OTHERS v. MOLDOVA AND RUSSIA» (Application no. 48787/99, judgment date 8 July 2004) в контексті правила прийнятності скарг «ratione loci».
  2. CASE OF LOIZIDOU v. TURKEY» (Application no. 15318/89, judgment date 18 December 1996) в контексті правила прийнятності скарг «ratione temporis».
  3. I. ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ ПАРТИИ
  4. I. Правила обучения, относящиеся к ученику, к субъекту
  5. I. Характеристика состояния сферы создания и использования информационных и телекоммуникационных технологий в Российской Федерации, прогноз ее развития и основные проблемы
  6. II. Основные задачи ФСБ России
  7. II. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ И ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИИ

Пусть на отрезке определена вещественнозначная функция .

Рассмотрим разбиение отрезка — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок на n отрезков . Длина наибольшего из отрезков называется шагом разбиения, где — длина элементарного отрезка.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется выражение .

Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора , то это число называется интегралом функции на отрезке , то есть .

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называют предел, к которому стремится интегральная сумма.

Теорема существования определённого интеграла. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема по этому отрезку.

Свойства:

Правило. Для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции надо найти для нее первообразную функцию и составить разность значений этой последней функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.


 

19. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги плоской кривой, объема тела.

Пусть некоторая функция f(x) непрерывна на отрезке , и её график на данном промежутке представляет собой кривую или, что то же самое, дугу кривой :

В предположение о непрерывности производной на [a,b], длина кривой AB выражается формулой:

или компактнее:

Рассмотрим случай параметрического задания кривой:

где t[a,b]. В этом случае для определения длина дуги вычисляется определенный интеграл:

Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах ρ=ρ(φ) где φ[α,β]. Тогда для определения длины дуги вычисляется следующий определенный интеграл:

Вычисление объема тела вращения:

а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела ;

б) а если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой , прямыми y=c, y=d (c<d) и осью OY, вокруг оси OY, то его объем ;

в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией y = f (x), прямыми x = a, x = b (0≤a≤b) и осью OX, то его объем можно вычислить по формуле ;

г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой , двумя полярными радиусами и , то объем полученного тела может быть вычислен по формуле .

д)вычисление объема тела по площадям поперечных сечений

Пусть тело V расположено в пространстве между плоскостями x = a и x = b, и для известна площадь его поперечного сечения S = S (x). Требуется определить объём этого тела.

Рассечём это тело плоскостями x = x 0 = a, x = x 1, x = x 2, …, x = xi -1, x = xi, …, x = x n -1, x = xn = b на n слоёв (a = x 0< x 1 < < x 2< …< xn -1 < xn = b), на каждом из отрезков [ xi -1, xi ] возьмём произвольную точку ; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями x = xi -1 и x = xi приближённо равен объёму цилиндрика с площадью основания и высотой : . Сумма объёмов - объём ступенчатой фигуры - при стремится к искомому объёму V, поэтому .


Дата добавления: 2015-08-20; просмотров: 264 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Интегрирование гиперболических функций| Площадь поверхности вращения.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)