Простые и сложные проценты

Пусть есть некоторый капитал К₀. Предположим, этот капитал даёт прирост р*100% в месяц. Это означает, что через месяц к капиталу К₀ добавится капитал рК₀. Если по истечении месяца прирост капитала рК₀ изымается, и в следующем месяце прирост капитала осуществляется с начальной суммы К₀, то к концу второго месяца прирост капитала за второй месяц составит опять рК₀, а прирост капитала за два месяца – 2рК₀. Через п месяцев прирост капитала составит прК₀, а вся сумма превратится в капитал

К₀ + п*р*К₀ = К₀*(1 +п*р) (1)

Это – формула простых процентов. За п месяцев из капитала К₀ получается капитал К₀(1+пр) при ежемесячном приросте р*100%.

Например, если начальный капитал К₀ =100 руб., а месячный прирост составляет 5% (0,05*100%), то через месяц капитал составит К₁=100*(1+0,05) = 105 руб., через два – К₂ =100* (1+2*0,05) =110руб. и т.д.

Формула простых процентов иногда используется (недостаточно обосновано), однако она некорректна: если временной интервал разбить на части и применить формулу к каждой части, то конечный результат изменится.

Эта некорректность устраняется, если проценты начислять на всю сумму, не изымая прирост.

Пусть капитал К₀ вкладывается в некую надежную фирму, гарантирующую ежемесячную прибыль р₁*100%, начисляемую на счет вкладчика и участвующую в дальнейшем финансовом процессе (инвестициях, кредитном финансировании и т.п.). Через месяц вкладчик будет обладать капиталом

К₁=К₀+K₀p₁=К₀(1+р₁),

через два К₂ = К₁(1+p₁) = К₀(1+p₁)²,

через п месяцев K _n= K₀(1+p₁)ⁿ, (2)

Эта формула называется формулой сложных процентов, и если представляет интерес доля прибыли рn (100%) за п периодов, т.е.

К_п=К₀(1+p_п),

то 1+p_n=(1+p1)ⁿ или 1+p₁= (3)

При исчислении сложных процентов условно принимается, что в году 360 суток, а каждый месяц содержит 30 суток.

Для расчётов формулу сложных процентов более удобно использовать в экспоненциальной форме, считая не через некоторые промежутки времени, а непрерывно.

Пусть φ(t) – коэффициент увеличения капитала за время t. Тогда капитал в момент времени t равен:

К(t) = К₀φ(t),

где К₀=К(0) – капитал в начальный момент времени. Тогда в момент времени (t+τ) капитал составит:

K(t+ τ)=K₀φ(t+τ) (4)

С другой стороны, капитал в момент времени (t+τ) можно рассматривать как капитал K(t), увеличенный за время τ.

K(t+ τ)=K(t)φ(τ)= К₀ φ(t) φ(τ) (5)

Сопоставляя выражения (3) и (4), получаем функциональное уравнение, которому должна удовлетворять функция φ(t):

φ(t+τ)=φ(t) φ(τ) (6)

Добавим начальное условие: при t = 0 φ(0)= 1, т.е. за нулевое время капитал не меняется.

Решением функционального уравнения φ(t+ τ)= φ(t) φ(τ) с начальным условием φ(0)= 1 является функция

φ(t)=e^pt (8)

Постоянная величина p – темп роста прибыли – определяется заданием одного из значений φ(t), проще всего – если задать φ(1)=1+p₁:

1+р₁= е^р, p=ln(1+p₁).

Тогда формула сложных процентов в экспоненциальном виде:

e^pt=φ(t)=(1+p₁)^t (3′)

K(t)=K₀(1+p₁)^t=K₀ е^pt

Коэффициент р₁ называется действительной ставкой за единицу времени.

Если время t равно п периодов, то

φ(n)=e^pn=(1+p₁)ⁿ=1+p_n.

Экспоненциальная форма роста прибыли более удобна для расчетов, позволяет вести их в любом направлении и для любого t.

Рассмотрим величину р – темп роста прибыли. Рассмотрим K(t) – капитал в момент времени t. Найдем скорость прироста капитала. Она выражается производной:

v(t) = K'(t) = K₀(е^рt)' = K₀pe^pt.

Относительная скорость равна:

.

Вычисления с использованием формул простых и сложных процентов различаются незначительно, и темп роста прибыли р и процентная ставка p₁ тоже близки.

Поэтому при невысокой процентной ставке и небольшом сроке прироста капитала можно использовать (и используется) при расчётах формулу простых процентов.

Прирост небольшого капитала, но в длительный срок, даже с небольшими процентами очень велик.

Рассмотрим алгоритм расчёта прибыли за любой промежуток времени, если известна действительная процентная ставка (за месяц).

Входные данные – начальный капитал К₀, действительная процентная ставка p₁, время, в течение которого рассчитывается прирост капитала t.

Выходные данные – темп роста прибыли р, капитал в момент времени t: K(t), прибыль П.

Коэффициент увеличения капитала за время t определим по формуле (3'):

φ(t)=(1+p₁)^t.

Тогда капитал в момент времени t: K(t)=К₀φ(t) и прибыль П = K(t)-К₀.

Рассмотрим алгоритм:

1°. Начало процесса.

2°. Ввести К₀, р₁, t.

3°. Найти φ(t)=(1+p₁)^t; K(t)=К₀φ(t).

4°. Найти П = K(t)-К₀ и темп роста прибыли р = 1п(1+р₁).

5°. Вывести р, K(t), П.

6°. Конец процесса.

Блок-схема алгоритма изображена на рис. 2.1.

Процентная ставка не всегда рассматривается за месяц. Модифицируем алгоритм, если процентная ставка рассматривается за любой период времени. Добавим входные данные t₀ – период (в днях), за который рассматривается процентная ставка. Тогда модифицированный алгоритм примет вид:

1°. Начало процесса.

2°. Ввести К₀, t₀ (в сутках), p₁, t (в сутках).

3°. Найти φ(t)=(1+p₁)^1/t₀, K(t)=К₀φ(t)

4°. Найти П = K(t)-К₀ и темп роста прибыли р = 1п .

5°. Вывести р, K(t), П.

6°. Конец процесса.

Блок-схема алгоритма изображена на рис. 2.2.

Дата добавления: 2015-08-17