Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Отраженная и преломленная волны

Четырехмерный тензор электро­магнитного импульса | Поляризация вещества | Уравнения Максвелла в диэлектрике | Волны в диэлектрике | Комплексный показатель преломления | Показатель преломления смеси | Волны в металлах | Низкочастотное и высокочастотное приближения; глубина скин-слоя и плазменная частота | Отражение и преломление света | Волны в плотных материалах |


Читайте также:
  1. III. ВОЛНЫ И ТЕНИ
  2. Waveform (форма волны)
  3. Базовые волны
  4. Большие волны настроения
  5. Волны в диэлектрике
  6. Волны в металлах
  7. Волны в плотных материалах

Теперь мы готовы применить наши граничные условия к вол­нам, перечисленным в § 2, где мы получили:

 

 

Нами получены еще кое-какие сведения: вектор Е перпендику­лярен для каждой волны вектору распространения k.

Полученный результат будет зависеть от направления век­тора Е («поляризации») в падающей волне. Анализ сильно упро­стится, если мы рассмотрим отдельно случай, когда вектор Е параллелен «плоскости падения» (т. е. плоскости ху), и случай, когда он перпендикулярен к ней. Волна с любой другой поляри­зацией будет просто линейной комбинацией этих волн. Другими словами, отраженные и преломленные интенсивности для различных поляризаций будут разными и легче всего отобрать два простейших случая и отдельно рассмотреть их.

Я подробно проанализирую случай падающей волны, пер­пендикулярной к плоскости падения, а потом просто опишу вам, что получается в других случаях. Я немного жульничаю, рас­сматривая простейший пример, однако в обоих случаях прин­цип один и тот же. Итак, мы считаем, что вектор Еi имеет только z-компоненту, а поскольку все векторы Е смотрят в одном и том же направлении, векторный значок можно опустить.

Оба материала изотропны, поэтому вынужденные колеба­ния зарядов в материале будут происходить в направлении оси z и у полей Е в преломленной и отраженной волнах тоже будет только одна z-компонента. Таким образом, для всех волн Ех и Еy, Рх и Рy равны нулю. Направления векторов Е и В в этих волнах показаны на фиг. 33.6.

 

 

Фиг. 33.6. Поляризации отражен­ной и преломленной волн, когда поле Е в падающей волне перпендикулярно к плоскости падения.

 

(Здесь мы изменили нашему пер­воначальному намерению все получить из уравнений. Этот результат также можно было бы получить из граничных усло­вий, однако, используя физические аргументы, мы избежали больших алгебраических выкладок. Когда у вас будет свобод­ное время, посмотрите, можно ли его действительно вывести из уравнений. Он, разумеется, согласуется с уравнениями; просто мы не доказали, что отсутствуют другие возможности.)

Теперь наши граничные условия [уравнения (33.26) — (33.31)] должны дать соотношения между компонентами Е и В в областях 1 и 2. В области 2 у нас есть только одна преломлен­ная волна, а вот в области 1 — их две. Какую же из них нам взять? Поля в области 1 будут, разумеется, суперпозицией полей падающей и отраженной волн. (Поскольку каждое удовлетворяет уравнениям Максвелла, то им удовлетворяет и сумма.) Поэтому, когда мы используем граничные условия, нужно помнить, что

E1=Ei+Er, E2=Et

я аналогично для В.

Для поляризаций, которыми мы сейчас занимаемся, уравне­ния (33.26) и (33.28) не дают никакой новой информации, и только уравнение (33.27) поможет нам. Оно говорит, что на границе, т. е. при х=0:

Ei+Er=Et.

Таким образом, мы получаем уравнение

 

 

которое должно выполняться для любого t и любого у. Возьмем сначала y=0. Для этого значения уравнение (33.38) превра­щается в

 

 

согласно которому два осциллирующих члена равны третьему. Это может произойти, только когда частоты всех осцилляции одинаковы. (Невозможно, сложив три или какое-то другое число подобных членов с различными частотами, получить для любого момента времени в результате нуль.) Итак,

w"=w'=w, (33.39)

как это и было нам всегда известно, т. е. частоты преломленной и отраженной волн те же самые, что и падающей.

Если бы мы предположили это с самого начала, то несом­ненно избежали бы многих трудностей, но мне хотелось пока­зать вам, что тот же самый результат можно получить и из урав­нений. А вот когда перед вами будет стоять реальная задача, лучше всего пускать в оборот сразу все, что вы знаете. Это избавит вас от лишних хлопот.

По определению абсолютная величина k задается равенством k2=n2w22, поэтому

 

 

А теперь обратимся к уравнению (33.38) для t =0. Используя снова те же рассуждения, что и прежде, но на сей раз основы­ваясь на том, что уравнения должны быть справедливы при всех значениях у, мы получаем

k"y=k'y=ky. (33.41)

Из формулы (33.40) k'2=k2, так что

k'2x+k'2y =k2x+k2y. Комбинируя это с (33.41), находим

k'2x=k2x, или k'x=+kx. Знак плюс не имеет никакого смысла; он не дает нам никакой отраженной волны, а лишь другую падающую волну, и с самого начала мы говорили, что будем решать задачу с единственной падающей волной, так что

k'x=-kx. (33.42)

Два соотношения (33.41) и (33.42) говорят нам, что угол отра­жения равен углу падения, как это и ожидалось (см. фиг. 33.3). Итак, в отраженной волне

 

 

Для преломленной волны мы уже получали

 

 

Их можно решить и в результате получить

 

 

Предположим на мгновение, что n 1 и n2 — вещественные числа (т. е. что мнимая часть показателей очень мала). Тогда все k тоже будут вещественными и из фиг. 33.3 мы видим, что

ky/k =sinqi, ky/k"=sinqt. (33.46)

Но ввиду уравнения (33.44) мы получаем

n2sinq t=ni sinqi;, (33.47)

т. е. уже известный нам закон Снелла для преломления. Если же показатель преломления не вещественный, то волновые числа оказываются комплексными и нам следует воспользоваться

(33.45). [Конечно, мы могли бы определить углы qi. и qt из

(33.46), и тогда закон Снелла (33.47) был бы верен и в общем случае. Однако при этом углы тоже стали бы комплексными числами и, следовательно, потеряли бы свою геометрическую интерпретацию как углы. Уж лучше описывать поведение волн соответствующими комплексными величинами kx или k"x.. ]

До сих пор мы не обнаружили ничего нового. Мы доставили себе только простенькое развлечение, выводя очевидные вещи из сложного математического механизма. А сейчас мы готовы найти амплитуды волн, которые нам еще не известны. Используя результаты для всех w и k, мы можем сократить экспоненциаль­ный множитель в (33.38) и получить

е0+е'0=е"0. (33.48)

Но поскольку мы не знаем ни Е'0, ни Е"9, то необходимо еще одно соотношение. Нужно использовать еще одно граничное условие. Уравнения для Ех и Еy не помогут, ибо все Е имеют только одну z-компоненту. Так что мы должны воспользоваться условием на В. Попробуем взять (33.29):

Bx2 =Bx1. Согласно условиям (33.35)—(33.37),

 

 

Вспоминая, что w" =w'= w и k"y=k'y=ky, получаем

е0+е'0 =е"0.

Но это снова уравнение (33.48)! Мы напрасно потратили время и получили то, что уже давно нам известно.

Можно было бы обратиться к (33.30) B z2z1, но у вектора В отсутствует z-компонента! Осталось только одно условие — (33.31) Ву2у1. Для наших трех волн

 

 

Подставляя вместо Ei,Er и Et волновые выражения при x=0 (ибо дело происходит на границе), мы получаем следующее граничное условие:

 

 

Учитывая равенство всех w и ky, снова приходим к условию kxE0 + k'xE'0=k"xE"0. (33.50)

Это дает нам уравнение для величины Е, отличное от (33.48). Получившиеся два уравнения можно решить относительно E'0 и Е"0. Вспоминая, что k’x=- kx, получаем

 

 

 

Вместе с (33.45) или (33.46) для k”x эти формулы дают нам все, что мы хотели узнать. Следствия полученного результата мы обсудим в следующем параграфе.

Если взять поляризованную волну с вектором Е, параллель­ным плоскости падения, то Е, как это видно из фиг. 33.7, будет иметь как x-, так и y-компоненту. Вся алгебра при этом будет менее хитрая, но более сложная. (Можно, правда, несколько уменьшить работу в этом случае, выражая все через магнитное поле, которое целиком направлено по оси z.)

 

 

Фиг. 33.7. Поляризации волн, когда поле Е в падающей волне па­раллельно плоскости падения.

 

При этом мы найдем

 

 

и

 

 

 

Давайте посмотрим, будет ли наш результат согласовываться с тем, что мы получали раньше. Выражение (33.3) мы вывели в вып. 3, когда находили отношение интенсивностей отражен­ной и падающей волн. Однако тогда мы рассматривали только вещественный показатель преломления. Для вещественного показателя (или вещественных k) можно записать:

kx=k cosqi=(wn1/c)cosqi,

k"x=k"cosqt=(wn2/c)cosqt.

Подставляя это в уравнение (33.51), получаем

 

 

что нисколько не похоже на уравнение (33.3). Если, однако, мы воспользуемся законом Снелла и избавимся от всех n, то сход­ство будет восстановлено. Подставляя n2=n1(sinqi/sinqt) и умножая числитель и знаменатель на sinqt, получаем

 

 

 

Обратите внимание, что в числителе и знаменателе стоят просто синусы (qi-qt) и (qi+qt), поэтому

 

 

Поскольку амплитуды E'0 и E0 измеряются в том же самом мате­риале, интенсивности пропорциональны квадратам электри­ческих полей и мы получаем тот же результат, что и раньше. Подобным же образом формула (33.53) тоже аналогична форму­ле (33.4).

Для волн, падающих перпендикулярно, qi=0 и qt=0. Формула (33.56) выглядит как 0/0, от чего нам пользы мало. Однако мы можем вернуться назад к формуле (33.55), согласно которой

 

 

Этот результат, естественно, применим для «любой» поляриза­ции, поскольку для перпендикулярного луча нет никакой особой «плоскости падения».


Дата добавления: 2015-08-20; просмотров: 83 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Граничные условия| Отражение от металлов

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.014 сек.)